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============================================================ 逆行列のよく使う性質 ============================================================ 逆行列を掛けるということは、 どういうことなのか。 一つの解釈を書きたいとおもいます。 基本的性質 =================== 行列はベクトルを並べたものとして考えると、 分かり易いです。 例えば、 <tex> \begin{pmatrix} 1 & 3 & 2 \\ -1 & 4 & 5 \\ 1 & -2 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix} &= 3 \times \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix} -1 \times \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ -2 \end{pmatrix} +2 \times \begin{pmatrix} 2 \\ 5 \\ 3 \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} 4 \\ 3 \\ 11 \end{pmatrix} \tag{##} </tex> という風に、行列と列ベクトルの積は、 行列を列ベクトル $\bm{a}_i(i=1,2,3)$ に分解し、 右から掛ける列ベクトル $\bm{b}$ の成分をその係数にして 掛け合わせたものとなります。 逆行列 =============== ここで、行列 $A$ を構成する列ベクトル $\bm{a}_i (i=1,2,3)$ の集合として、 逆行列を持つと考えてみましょう [*]_ 。 $A$ の逆行列を $P$ と置きます。 .. [*]: 行列は行基本変形や列基本変形で標準形を求めたとき、 階数が行列の次元に等しいと正則といい、 逆行列をもつのでした。 すると、逆行列の定義から、 <tex> PA &= P \begin{pmatrix} \bm{a}_1&\bm{a}_2&\bm{a}_3 \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \tag{##} </tex> つまり、これを分解すると、 <tex> P \bm{a}_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} </tex> <tex> P \bm{a}_2 = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \tag{##} </tex> <tex> P \bm{a}_3 = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} </tex> と成ります。 重ね合わせの原理 ===================== 行列と列ベクトルは線形性を持ちます。 つまり、行列 $A,B$ とし、列ベクトル $\bm{x},\bm{y}$ は、 <tex> (A+B)\bm{x}=A\bm{x}+B\bm{x} \tag{##} </tex> <tex> A(\bm{x}+\bm{y})=A\bm{x}+A\bm{y} \tag{##} </tex> が成り立ちます。 よって、 @@author:クロメル@@ @@accept:2010-04-19@@ @@category:物理数学@@ @@id:inverseMatrix@@