#rst2hooktail_source ============================================================ 独楽(コマ)を傾ける事に関する考察 ============================================================ この記事では、独楽(コマ)を傾ける力を加えると、 独楽がどう振る舞うか、について書きます。 考える独楽の説明 ====================== .. image :: chromel-spinningTop-01-t.png 図の様なx軸、y軸、z軸方向にパイプを持ち、 x、y方向の端には原点から $R$ 質量 $m$ の質点が付けられている、 回転体を考えます。この質点に1,2,3,4と名前を付けます。 角速度 $\omega$ で回転軸をz方向にして回転している時、 質点の座標をそれぞれ $\bm{r}_1,$ $\bm{r}_2,$ $\bm{r}_3,$ $\bm{r}_4$ とすると、行ベクトル( $T$ は転置の意味)を用いて、 <tex> \bm{r}_1 = ( R \cos \omega t , R \sin \omega t , 0 )^T \tag{##} </tex> <tex> \bm{r}_2 = ( - R \sin \omega t , R \cos \omega t , 0 )^T \tag{##} </tex> <tex> \bm{r}_3 = ( - R \cos \omega t , - R \sin \omega t , 0 )^T \tag{##} </tex> <tex> \bm{r}_4 = ( R \sin \omega t , - R \cos \omega t , 0 )^T \tag{##} </tex> となります。以降では、質点3,4は、1,2と原点対称なので、 計算を省略します。 傾ける力を加える ======================= ここで、z軸の正の側を手で持ち、x軸の負の方向へ倒す力を加えます。 偶力にする為、同時にz軸の負の側を持ち、x軸の正の方向へ力を加えます。 すると運動方程式は、おおざっぱに見積もって、時間が十分に小さいとき、 <tex> \ddot{\bm{r}}_1 = ( 0 , 0 , F \cos \omega t )^T \tag{##} </tex> <tex> \ddot{\bm{r}}_2 = ( 0 , 0 , - F \sin \omega t )^T \tag{##} </tex> これからしたいことは、この式を時間 $t$ で積分することです。初期速度を求める為、 式 $(1)$ , $(2)$ を時間で微分して $t=0$ と置いたもの を $ \dot{\bm{r}}_{10} $ , $ \dot{\bm{r}}_{20} $ とすると、 <tex> \dot{\bm{r}}_{10} = (- R \omega \sin \omega t , R \omega \cos \omega t , 0) ^T \tag{##} </tex> <tex> \dot{\bm{r}}_{20} = (- R \omega \cos \omega t , - R \omega \sin \omega t , 0) ^T \tag{##} </tex> また、初期位置は式 $(1)$ , $(2)$ で $t=0$ と置いたものなので、 それぞれ $ \bm{r}_{10} $ , $ \bm{r}_{20} $ と置くと、 <tex> \bm{r}_{10} = (R , 0 , 0)^T \tag{##} </tex> <tex> \bm{r}_{20} = (0 , R , 0)^T \tag{##} </tex> です。 式 $(5)$ , $(6)$ を時間 $ 0 $ から $ t $ まで定積分してやると、 <tex> \dot{\bm{r}}_1 &= \dot{\bm{r}}_{10} + \int_0^t \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ \dfrac{F}{m} \cos \omega t \end{pmatrix} dt \\ &= \begin{pmatrix} - R \omega \sin \omega t \\ R \omega \cos \omega t \\ 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ \dfrac{F}{m \omega} \sin \omega t \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} - R \omega \sin \omega t \\ R \omega \cos \omega t \\ \dfrac{F}{m \omega} \sin \omega t \end{pmatrix} \tag{##} </tex> さらに定積分して、 <tex> \bm{r}_1 &= \bm{r}_{10} + \int_0^t \begin{pmatrix} - R \omega \sin \omega t \\ R \omega \cos \omega t \\ \dfrac{F}{m \omega} \sin \omega t \end{pmatrix} dt \\ &= \begin{pmatrix} R \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} R (\cos \omega t -1) \\ R \sin \omega t \\ \dfrac{F}{m \omega^2}(- \cos \omega t + 1) \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} R \cos \omega t \\ R \sin \omega t \\ \dfrac{F}{m \omega^2}(1 - \cos \omega t) \end{pmatrix} \tag{##} </tex> 質点2についても同様に計算すると、 <tex> \dot{\bm{r}}_2 &= \dot{\bm{r}}_{20} + \int_0^t \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ - \dfrac{F}{m} \sin \omega t \end{pmatrix} dt \\ &= \begin{pmatrix} - R \omega \cos \omega t \\ - R \omega \sin \omega t \\ 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ \dfrac{F}{m \omega} (\cos \omega t - 1) \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} - R \omega \cos \omega t \\ - R \omega \sin \omega t \\ \dfrac{F}{m \omega} (\cos \omega t - 1) \end{pmatrix} \tag{##} </tex> さらに定積分をして、 <tex> \bm{r}_2 &= \bm{r}_{20} + \int_0^t \begin{pmatrix} - R \omega \cos \omega t \\ - R \omega \sin \omega t \\ \dfrac{F}{m \omega} (\cos \omega t - 1) \end{pmatrix} dt \\ &= \begin{pmatrix} 0 \\ R \\ 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} - R \sin \omega t \\ R (\cos \omega t - 1 )\\ \dfrac{F}{m \omega}( \dfrac{\sin \omega t}{\omega} + t ) \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} - R \sin \omega t \\ R \cos \omega t \\ \dfrac{F}{m \omega}( \dfrac{\sin \omega t}{\omega} + t ) \end{pmatrix} \tag{##} </tex> 以上をまとめると、 <tex> \bm{r}_1 &= \begin{pmatrix} R \cos \omega t \\ R \sin \omega t \\ \dfrac{F}{m \omega^2}(1 - \cos \omega t) \end{pmatrix} \\ \bm{r}_2 &= \begin{pmatrix} - R \sin \omega t \\ R \cos \omega t \\ \dfrac{F}{m \omega}( \dfrac{\sin \omega t}{\omega} + t ) \end{pmatrix} \tag{##} </tex> となります。 動きの解析 ========================= ここで、 $\bm{r}_1$ , $\bm{r}_2$ の作る平面に垂直なベクトルを考えます。 つまり、回転軸がどう振る舞うかを考えるのです。 それには、外積を使えば求められますね。 その値は、z軸の正の方向を向いたものを計算すると、 <tex> \bm{n} &= \bm{r}_1 \times \bm{r}_2 \\ &= \begin{pmatrix} R \cos \omega t \\ R \sin \omega t \\ \dfrac{F}{m \omega^2}(1 - \cos \omega t) \end{pmatrix} \\ \times \begin{pmatrix} - R \sin \omega t \\ R \cos \omega t \\ \dfrac{F}{m \omega}( \dfrac{\sin \omega t}{\omega} + t ) \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} \dfrac{F R}{m \omega^2} \left(\sin^2 \omega t - \omega t \sin \omega t + \cos^2 \omega t - \cos \omega t \right) \\ \dfrac{F R}{m \oemga^2} \left(\omega t \cos \omega t - \sin \omega t \right) \\ R^2 \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} \dfrac{F R}{m \omega^2} \left(- \omega t \sin \omega t + ( 1 - \cos \omega t ) \right) \\ \dfrac{F R}{m \oemga^2} \left(\omega t \cos \omega t - \sin \omega t \right) \\ R^2 \end{pmatrix} \tag{##} </tex> ここで高次の項を無視すると、 $\bm{n}=(n_x,n_y,n_z)^T$ は、 $\dfrac{FR}{m} \equiv \alpha$ と置くと、 <tex> n_x &= - \dfrac{-\alpha}{2}t^2 \\ n_y &= - \alpha \omega t^3 \tag{##} </tex> より、 <tex> t^6 = \left( \dfrac{y}{\alpha \omega} \right)^2 = - \left( \dfrac{2 x }{\alpha} \right)^3 </tex> となります。式 $()$ @@author:クロメル@@ @@accept:2011-11-4@@ @@category:力学@@ @@id:spinningTop@@