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不定期連載コラム第 1 回『特殊な一階の常微分方程式』
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先日,かぎしっぽのメーリングリストで,池の氷の成長速度
(氷の厚さ) が話題になりました。
詳細な説明はここでは致しませんが,
氷の厚さ $u$ と時刻 $t$ との間には,ある定数 $a$ を用いて
<tex>
\frac{\, \mathrm{d} \,}{\, \mathrm{d}t \,} u
= \frac{\, a \,}{\, u \,} \qquad \tag{1}
</tex>
という関係があるというものでした。
この微分方程式の解は,積分定数 $C$ を用いて,
<tex>
u = \pm \sqrt{\mathstrut 2 a t + C \,} \qquad \tag{2}
</tex>
と表されます `(註 1)`_ 。
つまり,大雑把にいえば $\sqrt{\mathstrut t \,}$ に比例します。
.. _cf01:
(註 1)
この問題の場合は,氷の厚さですので,
常に $0 \leq u$ かつ, $t = 0$ のとき, $u = 0$ です。
よって, $C = 0$ となり, $0 \leq u$ と併せて,
$u = \sqrt{\mathstrut 2 a t \,}$ となります。
この微分方程式を眺めていて,
<tex>
\frac{\, \mathrm{d} \,}{\, \mathrm{d}t \,} u = a u \qquad \tag{3}
</tex>
の解が,積分定数 $C$ を用いて,
<tex>
u = \pm C \mathrm{e}^{at} \qquad \tag{4}
</tex>
で表されることが頭に浮かんで来ました。
この二つの微分方程式は,共に,
.. _eq05:
<tex>
\frac{\, \mathrm{d} \,}{\, \mathrm{d}t \,} u = a {u}^{k} \qquad \tag{5}
</tex>
という形をしています `(註 2)`_ 。
.. _cf02:
(註 2)
(5) 式で $k = -1$ とおくと (1) 式になり,
$k = 1$ とおくと (3) 式になります。
しかし,その解は,一方では平方根,もう一方は指数関数と,
全く違った形をしています。
そこで,今回は, `(5) 式`_ の形の微分方程式を解いてみたいと思います `(註 3)`_ 。
.. _cf03:
(註 3)
(5) 式は,左辺が $u$ の一階の導関数です。
このような微分方程式に含まれる最大の階数が一階であるものを
一階の微分方程式と呼びます。
また, $u$ の変数は $t$ だけです。
このように,変数が一つだけの微分方程式を常微分方程式と呼びます。
よって, (5) 式は,一階の常微分方程式の一種となります。
前提条件
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さて, `(5) 式`_ を解く訳ですが,その前提条件を決めておきましょう。
$u$ は $t$ の函数ですが,ここで定義域は $0 \leq t$ とします。
$k$ を実数全体に拡張したいので, $0 \leq u$ とします。
更に, $0 < t$ のとき, $0 < u$ であるとします。
定数 $a$ も, $0 < a$ とします `(註 4)`_ 。
これらの条件下で `(5) 式`_ を解きます。
.. _cf04:
(註 4)
この条件では, $0 < t$ で右辺は常に正の値を取ります
( $t = 0$ では $0$ 以上の値を取ります)。
つまり,導関数の値が常に正または $0$ ですから,
函数 $u$ は広義の単調増加函数です。
ここで,簡単の為に, ${}^{\prime}$ は $t$ による微分を表すこととします。
即ち, ${u}^{\prime} = \frac{\displaystyle \,
\mathrm{d} \,}{\, \mathrm{d}t \,} u$ です。
これを用いると, `(5) 式`_ は,
.. _eq06:
<tex>
{u}^{\prime} = a {u}^{k} \qquad \tag{6}
</tex>
となります。
では解いてみましょう
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`(6) 式`_ は, `変数分離形`_ で解く事が出来ますが,
ここでは,ちょっと変わった解き方をしてみます。
まず, $0 < t$ において, $0 < u$ であることから,
`(6) 式`_ の両辺に ${u}^{-k}$ を掛けます。
即ち,
<tex>
{u}^{-k} {u}^{\prime} = a \qquad \tag{7}
</tex>
となります。
ここで,函数 $u$ に対して, $j \neq 0$ のとき,
${u}^{j}$ ( $j$ は実数) の $t$ による微分,
即ち ${\left({u}^{j}\right)}^{\prime}$ を考えます。
これは,合成函数の微分から,
<tex>
{\left({u}^{j}\right)}^{\prime} = j {{u}^{j - 1}} {u}^{\prime} \qquad \tag{8}
</tex>
が成り立ちます。
ここで (8) 式を $j \neq 0$ に注意して整理しますと,
<tex>
\frac{\,{\left({u}^{j}\right)}^{\prime}\,}{j} = {{u}^{j - 1}} {u}^{\prime}
\qquad \tag{9}
</tex>
となります。
(9) 式において, $j - 1 = -k$ とおくと, $j = 1 - k$ で $k \neq 1$ ,
<tex>
\frac{\,{\left({u}^{1 - k}\right)}^{\prime}\,}{1 - k}
= {{u}^{-k}} {u}^{\prime} \qquad \tag{10}
</tex>
となります。
(10) 式の右辺は, (7) 式の左辺に等しいので,
<tex>
\frac{\,{\left({u}^{1 - k}\right)}^{\prime}\,}{1 - k} = a
\qquad \tag{11}
</tex>
即ち,
<tex>
\left({u}^{1 - k}\right)^{\prime} = a (1 - k) \qquad \tag{12}
</tex>
となります。
ここで, (12) 式の右辺 ( $a (1 - k)$ ) は定数であることに注意して
両辺を $t$ で積分すると,$C$ を積分定数として,
<tex>
{u}^{1 - k} = a (1 - k) t + C \qquad \tag{13}
</tex>
となりますから, $0 \leq u$ より,
この両辺の $1 - k \, \left( \mathstrut k \neq 1 \right)$ 乗根を取ると,
<tex>
u = {\left\{ a (1 - k) t + C \right\}}^
{\frac{\displaystyle {1}}{\displaystyle \, 1 - k \, }} \qquad \tag{14}
</tex>
となります。
一方, $k = 1$ のときは,解くべき微分方程式 ( `(6) 式`_ ) は,
<tex>
{u}^{\prime} = a u \qquad \tag{15}
</tex>
即ち
<tex>
\frac{\, {u}^{\prime} \,}{u} = a \qquad \tag{16}
</tex>
となりますから, $0 < u$ のとき,
<tex>
{\left(\ln u \right)}^{\prime} = \frac{\, {u}^{\prime} \,}{u}
\qquad \tag{17}
</tex>
より [#]_ ,
..[#]
$\ln x$ は,${\log}_{\mathrm{e}} x$ のことです。
高校では $\log x$ と底を省略した場合は,底が $\mathrm{e}$ で
ある場合 (自然対数) と $10$ である場合 (常用対数) の双方がありましたが,
それでは紛らわしいので, $\log$ は常用対数を, $\ln$ は自然対数を,
それぞれ表すものとされています。
<tex>
{\left(\ln u \right)}^{\prime} = a \qquad \tag{18}
</tex>
となります。 (18) 式の両辺を $t$ で積分して,
<tex>
\ln u = a t + C \qquad \tag{19}
</tex>
即ち,
<tex>
u = \mathrm{e}^{a t + C} = \mathrm{e}^{C} \mathrm{e}^{at} \qquad \tag{20}
</tex>
となりますが, $\mathrm{e}^{C}$ は定数ですので,これを改めて $C$ と書けば,
<tex>
u = C \mathrm{e}^{at} \qquad \tag{21}
</tex>
となります。
解
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纏めますと, ${u}^{\prime} = a {u}^{k}$ の解は,
<tex>
u =
\left\{
\begin{array}{ll}
C \mathrm{e}^{at} & (k = 1) \\
{\left\{ a (1 - k) t + C \right\}}^
{\displaystyle \frac{1}{\, 1 - k \, }}
& (k \neq 1)
\end{array}
\right.
</tex>
となります。これは, ${t}^{j}$ の $t$ での積分,
即ち $\int {t}^{j} \mathrm{d}t$ が, $j = -1$ と $j \neq -1$ とで
解の形が変わるという事と同じ事ですね。
と,いうことで,今回のコラムはこれで終わります。ではまた。合掌
.. %-%-%-%-%-%-%-%-%-%-%-%-%-%-%-%-%-%-%-%-%-%-%-%-%-%-%-%-%-%-
% 数式用ページ内リンク
.. _(5) 式: #eq05
.. _(6) 式: #eq06
.. %-%-%-%-%-%-%-%-%-%-%-%-%-%-%-%-%-%-%-%-%-%-%-%-%-%-%-%-%-%-
% 脚注 (参考) 用ページ内リンク
.. _(註 1): #cf01
.. _(註 2): #cf02
.. _(註 3): #cf03
.. _(註 4): #cf04
.. _(註 5): #cf05
.. _(註 6): #cf06
.. _(註 7): #cf07
.. %-%-%-%-%-%-%-%-%-%-%-%-%-%-%-%-%-%-%-%-%-%-%-%-%-%-%-%-%-%-
% ページ外リンク
.. _変数分離形: http://hooktail.sub.jp/mathInPhys/separatVariables/
@@author:K. I.@@
@@accept:2014-07-19@@
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@@id:column0001@@