今までの議論がまとまってきていて、添え字の威力も改めて感じました。 :-)
ひとつだけ、 一つ目の「重要」より少し上のところですが、 「内積の線形性よりΦ_x(・・・)=・・・」となっていますが、ここの添え字のxは誤植でよかったですか?