これはrst2hooktailの記事ソース保存・変換用です(詳細).
============================================================ 留数定理の積分路が原点を囲む囲まないかの違いについて ============================================================ この記事では、$R,r,t$ を実数とした時、 $\Gamma : z=Re^{it} + r \ (t: 0 \to 2\pi)$ とした時の $\int_\Gamma \dfrac{dz}{z}$ を考えます。工学的な記述であって、あまり数学的厳密性はありません。 計算の実行 ==================== 上に述べたとおりの条件で、積分を行います。 $dz = i Re^{it} dt$ より、 <tex> \int_\Gamma \dfrac{dz}{z} &= \int_{t=0}^{2 \pi} \dfrac{iRe^{it}}{Re^{it} + r} dt \\ &= \left[ \rm{log}|Re^{it} + r| \right]_{t=0}^{2 \pi} \\ &= \left[ \rm{Log}|Re^{it} + r| + i \phi \right]_{t=0}^{2 \pi} \tag{##} </tex> ここで、実部は $R$ と $r$ の値に関わらず、 <tex> \left[ \rm{Log}|Re^{it} + r| \right]_{t=0}^{2 \pi} = 0 \tag{##} </tex> です。 $\rm{Log}$ は引数に実数を取り普通の実関数の $\log$ と同じ値を返します。 これを「対数の主値」と言います。一方、 $\rm{log}$ の虚部 $\phi$ は、 <tex> \phi &= \arg(z) \\ &= \tan^{-1} \left( \dfrac{R \sin t}{R \cos t + r} \right) \tag{##} </tex> となります。 R<rの時 ============= これは、原点から見て $t$ が $0 \to 2\pi$ まで動くとき、 $\phi$ は $0 \to 0$ を動きます。 積分路が原点を囲わない為、 $\rm{log}$ のリーマン面の分枝を跨がない為です。 よって、 <tex> \int_\Gamma \dfrac{dz}{z} = 0 \tag{##} </tex> となります。 R>rの時 ============= この時は、注意が必要です。 なぜならば、 $R \cos t + r$ がゼロになる $t$ が二つあるからです。これに対応する $t$ を $t_1,t_2 \ (t_1 < t_2)$ とします。ここで小さな正の実数 $\varepsilon (>0) $ を用意します。 $t_1,t_2$ を除いて $t: 0 \to t_1 - \varepsilon, t_1 + \varepsilon \to t_2 - \varepsilon, \ t_2 + \varepsilon \to 2 \pi$ とすればよいようです。この時、 $\phi: 0 \to \dfrac{\pi}{2}, \ -\dfrac{\pi}{2} \to \dfrac{\pi}{2},- \dfrac{\pi}{2} \to 0$ と動きますから、その後で $\varepsilon \to 0$ とすればよく、 <tex> &\left[ i \phi \right]_{t=0}^{t_1 - \varepsilon} + \left[ i \phi \right]_{t=t_1 + \varepsilon}^{t_2 - \varepsilon} + \left[ i \phi \right]_{t=t_2 + \varepsilon}^{2 \pi} \\ &= i(\dfrac{\pi}{2}-0)+i(\dfrac{\pi}{2}-(-\dfrac{\pi}{2}))+i(0-(-\dfrac{\pi}{2})) \\ &\to 2 \pi i \tag{##} </tex> となります。 R=rの時 ============ この場合は、 <tex> \phi &= \tan^{-1} \left( \dfrac{\sin t}{\cos t + 1} \right) \\ &= \tan^{-1} \left( \dfrac{\sin t(1- \cos t)}{(\cos t + 1)(1- \cos t)} \right) \\ &= \tan^{-1} \left( \dfrac{1- \cos t}{\sin t} \right) \\ </tex> となります。ここで $t:0 \to \pi - \varepsilon,\pi + \varepsilon \to 2 \pi$ の時、 $\phi: 0 \to \dfrac{\pi}{2}, \ -\dfrac{\pi}{2} \to 0$ となるので、 <tex> &\left[ i \phi \right]_{t=0}^{\pi - \varepsilon} + \left[ i \phi \right]_{t=\pi + \varepsilon}^{2 \pi} \\ &= i(\dfrac{\pi}{2}-0)+i(0-(-\dfrac{\pi}{2})) \\ &\to \pi i \tag{##} </tex> となります。 まとめ ================== $\Gamma: z = R e^{it} + r \ (t:0 \to 2 \pi)$ の時、 <tex> \int_{\Gamma} \dfrac{dz}{z} &= \begin{cases} 0 \ (R<r) \\ \pi i \ (R=r) \\ 2 \pi i \ (R>r) \\ \end{cases} </tex> となります。 今日はここまで、お疲れさまでした。 @@author:クロメル@@ @@accept:2020-07-30@@ @@category:複素解析@@ @@id:exOfComplexIntegral@@