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============================================================ ポアソン括弧の変形法 ============================================================ 解析力学で言うポアソン括弧とは、 <tex> \{ f,g \} = \dfrac{\partial f}{\partial q^i}\dfrac{\partial g}{\partial p_i} -\dfrac{\partial f}{\partial p_i}\dfrac{\partial g}{\partial q^i} \tag{##} </tex> のことを言います。ただし、添え字の $i$ や $j$ が二回現れた時には、 $i=1,2,\cdots,N$ までの和を 取ることにします。Σ記号を省略するのです。 この記事で示したいものは、 <tex> \{ f, q^i \} = \dfrac{\partial f}{\partial q^j} \{q^j , q^i \} + \dfrac{\partial f}{\partial p_j} \{ p_j , q^i \} \tag{##} </tex> <tex> \{ f, p_i \} = \dfrac{\partial f}{\partial q^j} \{q^j , p_i \} + \dfrac{\partial f}{\partial p_j} \{ p_j , p_i \} \tag{##} </tex> の二式です。 ポアソン括弧は次の基本的な関係を満たします。 <tex> \{q^i, q^j \} = 0 \tag{##} </tex> <tex> \{p_i, p_j \} = 0 \tag{##} </tex> <tex> \{q^i, p_j \} = \delta^i_j \tag{##} </tex> 但し、 $\delta^i_j$ はクロネッカーのデルタです。つまり、 <tex> \delta^i_j= \begin{cases} 1 \ \ \ (i=j) \\ 0 \ \ \ (i \neq j) \end{cases} \tag{##} </tex> です。 さあ、式 $(2)$ を示しましょう。 <tex> \{ f, q^i \} &= \dfrac{\partial f}{\partial q^j}\dfrac{\partial q^i}{\partial p_j} -\dfrac{\partial f}{\partial p_j}\dfrac{\partial q^i}{\partial q^j} \\ &= \left( \dfrac{\partial f}{\partial q^j}\dfrac{\partial q^j}{\partial q^j} + \dfrac{\partial f}{\partial p_j}\dfrac{\partial p_j}{\partial q^j} \right) \dfrac{\partial q^i}{\partial p_j} - \left( \dfrac{\partial f}{\partial q^j}\dfrac{\partial q^j}{\partial p_j} + \dfrac{\partial f}{\partial p_j}\dfrac{\partial p_j}{\partial p_j} \right) \dfrac{\partial q^i}{\partial q^j} \\ &= \dfrac{\partial f}{\partial q^j} \left( \dfrac{\partial q^j}{\partial q^j}\dfrac{\partial q^i}{\partial p_j} - \dfrac{\partial q^j}{\partial p_j}\dfrac{\partial q^i}{\partial q^j} \right) + \dfrac{\partial f}{\partial p_jj} \left( \dfrac{\partial p_jj}{\partial q^j}\dfrac{\partial q^i}{\partial p_j} - \dfrac{\partial p_j}{\partial p_j}\dfrac{\partial q^i}{\partial q^j} \right) \\ &= \dfrac{\partial f}{\partial q^j} \{ q^j,q^i \} +\dfrac{\partial f}{\partial p_j} \{ p_j,q^i \} \\ &= \dfrac{\partial f}{\partial p_j} (-\delta_j^i) \\ &= -\dfrac{\partial f}{\partial p_i} \tag{##} </tex> となります。式 $(3)$ も同様に <tex> \{ f, p_i \} &= \dfrac{\partial f}{\partial q^j} \{ q^j,p_i \} +\dfrac{\partial f}{\partial p_j} \{ p_j,p_i \} \\ &= \dfrac{\partial f}{\partial q^i} \tag{##} </tex> となります。それでは今日はこの辺で。 @@reference: 菅野礼司,ゲージ理論の解析力学,吉岡書店,2007,p43,4842703428@@ @@author:クロメル@@ @@accept:2013-03-02@@ @@category:力学@@ @@id:poiBracket@@