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分数で表現した中国の剰余定理
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整数論の分野では当然のことのように分数は使われていませんが,以外に分数による表現が分かりやすいことが
あります.その例として,中国の剰余定理の内容と証明を分数を用いて説明します.また,同様の考え方で
多項式の剰余の代わりに有理式を用いる説明を付記します.
中国の剰余定理とは
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簡単のため 整数 $a$ を正の整数 $n$ で割った剰余 $a \bmod n$ を $|a|_{n} ~~(0 \leq |a|_{n} < n)$ で
表わします. $|a|_{3} = b, ~~ |a|_{5} = c$ である $|a|_{15}$ は,中国の剰余定理により
<tex>
|a|_{15} = | 10 b + 6 c |_{15}
</tex>
で求められます.この 10 と 6 を詳しく書くと, $10 = 5 \times |5|_{3}^{-1}$, $6 = 3 \times |3|_{5}^{-1}$
です.ここで $|5|_{3}^{-1}$ は $|5 x|_{3} = 1$ となる $x$ (3 を法とする逆元)を意味します.また,
$|a|_{3} = b$, $|a|_{5} = c$, $|a|_{7} = d$ である $|a|_{105}$ ( $3 \times 5 \times 7 = 105$ )は
<tex>
|a|_{105} = | 70 b + 21 c + 15 d|_{105}
</tex>
<tex>
70 = 5 \times 7 \times |35|_{3}^{-1} \\
21 = 3 \times 7 \times |21|_{5}^{-1} \\
15 = 3 \times 5 \times |15|_{7}^{-1}
</tex>
です. $m$, $n$ が互いに素であれば
です(ガウスの方法). $m$, $n$ が互いに素であれば
<tex>
m x + n y = 1
</tex>
となる整数 $x$, $y$ が存在するという有名な性質を使って,上記の式を導いてみましょう.
分数による表現
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以下では,有理数 $r$ の整数部を $\Gamma r$, 小数部 $\Delta r$ ( $0 \leq \Delta r < 1$ ) で
表わします.例えば
<tex>
\Gamma \left(-\frac{8}{3} \right) = -3, ~~~~ \Delta \left(-\frac{8}{3} \right) = \frac{1}{3}
</tex>
です. $5 x + 3 y = 1$ は
<tex>
\frac{x}{3} + \frac{y}{5} = \frac{1}{15}
</tex>
と書き換えることができるので,
<tex>
\Delta \left( \frac{x'}{3} + \frac{y'}{5} \right) = \frac{1}{15}
</tex>
となる $x'$ ( $0 \leq x' <3$ ), $y'$ ( $0 \leq y' <5$ ) が存在し,
<tex>
\Delta \left( \frac{5 x'}{3} + y' \right) = \Delta \frac{2 x'}{3} = \frac{1}{3}
</tex>
から, $x' = 2$ であることが分かります.同様に $y' = 2$ であることも分かり,任意の $a$ に対して成立する
<tex>
\Delta \left( \frac{2 a}{3} + \frac{2 a}{5} \right)
= \Delta \left( \Delta \frac{2 a}{3} + \Delta \frac{2 a}{5} \right)
= \Delta \frac{a}{15}
</tex>
が得られます.
<tex>
\Delta \frac{2 a}{3} = \Delta \left(2 \Gamma \frac{a}{3} + 2 \Delta \frac{a}{3} \right)
= \Delta \left( 2 \Delta \frac{a}{3} \right)
</tex>
ですから,上記の式を
<tex>
\Delta \left(2 \Delta \frac{a}{3} + 2 \Delta \frac{a}{5} \right) = \Delta \frac{a}{15}
</tex>
と書き換えることができます.これが分数で表現した中国の剰余定理です.
先に示した $|a|_{15} = | 10 b + 6 c |_{15}$ に $b = 3 \Delta \frac{a}{3}, ~~ c = 5 \Delta \frac{a}{5}$ を代入すると
<tex>
15 \Delta \frac{a}{15} = 15 \Delta \frac{10 \cdot 3 \Delta \frac{a}{3} + 6 \cdot 5 \Delta \frac{a}{5}}{15}
= 15 \Delta \left( 2 \Delta \frac{a}{3} + 2 \Delta \frac{a}{5} \right)
</tex>
となり,上式と等価であることを確認できます. $|a|_{105} = | 70 b + 21 c + 15 d|_{105}$ については
<tex>
\frac{x}{3} + \frac{y}{5} = \frac{1}{15}, ~~~~ \frac{w}{15} + \frac{z}{7} = \frac{1}{105}
</tex>
から
<tex>
\Delta \left( \frac{x'}{3} + \frac{y'}{5} + \frac{z'}{7} \right) = \frac{1}{105}
</tex>
<tex>
\Delta \left( \frac{35 x'}{3} + 7 y' + 5 z' \right)
= \Delta \frac{2 x'}{3} = \frac{1}{3} = \frac{35}{105},~ \cdots
</tex>
となる $x'$, $y'$, $z'$ を 2, 1, 1 として
<tex>
\Delta \left( \frac{2}{3} + \frac{1}{5} + \frac{1}{7} \right) = \Delta \frac{106}{105} = \frac{1}{105}
</tex>
<tex>
\Delta \left(2 \Delta \frac{a}{3} + \Delta \frac{a}{5} + \Delta \frac{a}{7} \right) = \Delta \frac{a}{105}
</tex>
が得られます.
補遺
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多項式 $P(x)$ を多項式 $G(x)$ で割ったときの商を $Q(x)$, 剰余を $R(x)$ として
<tex>
\Gamma \frac{P(x)}{G(x)} = Q(x), ~~~ \Delta \frac{P(x)}{G(x)} = \frac{R(x)}{G(x)}
</tex>
によって $\Gamma (P(x)/G(x))$, $\Delta (P(x)/G(x))$ の意味を定めると,整数のときと同様に剰余の代わりに
有理式を用いて説明できます.例えば,ユークリッドの互除法を,整数の場合の
<tex>
\Delta \frac{56}{21} = \frac{14}{21}, ~~~ \Delta \frac{21}{14} = \frac{7}{14}, ~~~ \Delta \frac{14}{7} = 0
</tex>
と同様に,
<tex>
\Delta \frac{x^2 + 2 x + 3}{x^2 - 1} = \frac{2 x -4}{x^2 - 1}, ~~~
\Delta \frac{x^2 - 1}{x - 2} = \frac{3}{x - 2}, ~~~ \Delta \frac{x - 2}{1} = 0
</tex>
で計算過程を明示できます(この例では最後の分母が定数なので互いに素).
あとがき
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$a \bmod 3$ の代わりに $\Delta (a / 3)$ を用いると,本文中の $\Delta (5 x / 3 + y) = \Delta (2 x / 3)$
のような計算を分かり易く表現できます.分数を用いた表現の主役は作用素 $\Delta$ です.
@@reference: ja.wikipedia.org/wiki/%E4%B8%AD%E5%9B%BD%E3%81%AE%E5%89%B0%E4%BD%99%E5%AE%9A%E7%90%86,中国の剰余定理-Wikipedia@@
@@reference: oshiete.goo.ne.jp/qa/2740868.html,中国式剰余定理の教え方 - 数学 - 教えて!goo@@
@@reference: www004.upp.so-net.ne.jp/s_honma/gauss/gauss.htm,連立合同式@@
@@author: pulsar@@
@@accept: @@
@@category: 初等代数@@