査読/直積集合(Joh著)/2 - 物理のかぎプロジェクトWiki

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空集合との直積 †

ページ	査読/直積集合(Joh著)
投稿者	黒子
状態
投稿日	2007-04-15 (日) 21:57:17

↑

メッセージ †

あんまり重要な話じゃないかもしれませんが…

$A \times \emptyset = \emptyset \times B = \emptyset \times \emptyset = \emptyset$

を記事の中で紹介しませんか？
集合論に慣れていれば、なんてことない定理(定義？)なのでしょうが、
最初はすぐには思いつけない人も多いと思います。
すぐに気がついたら気がついたで、ハッとして面白いもんだと思うのですが、いかがでしょうか？

↑

返答 †

ハッとしますね！　追加します -- Joh 2007-04-16 (月) 05:23:14
僕の感覚としてはA×ΦとかΦ×Bとかは定義できないような気がするのですが、Φになるのはどうしてですか？ -- NOBU 2007-04-19 (木) 22:25:58
お返事が遅くなりました。結局、これも定義のようなものらしいです。　具体的に考えてみると、 $\emptyset \times \emptyset =\{ (x \prime y)|x \in \emptyset$ となります。すなわち、 $(x \prime y)$ に含まれる元はないので、 $(x \prime y)\in \emptyset$ と定められているようです。　…違ったら、誰か教えてください。すいません。。 -- 黒子 2007-04-29 (日) 20:34:59
確かに，空集合と空集合との直積は，空集合です。しかしながら，詳述しますと，一階の空集合と一階の空集合との直積は二階の空集合になると理解しています。同じ記号を用いて表していても，階が異なれば相異なる物です。例えば一階の空でない集合Aと二階の空集合との直積は三階の空集合になると理解すればよいかと思われます。 -- K.I. 2007-04-29 (日) 21:10:16
K.I.さん、はじめまして。コメントをありがとうございます。　そうですね。直積集合の階が異なれば、記事中にもあるようにまったく別の集合になりますから、そう理解することが自然であるように思います。 $\emptyset^n=\emptyset$ と形式的に書けるのは、空集合の定義の形式的解釈からなのでしょうか？私は勝手にそう理解してしまっていますが。 -- 黒子 2007-04-30 (月) 00:00:56
私もφ×φ=φという関係は単なる形式上の記法であると理解しています。形式的にφと書いた所で，それはどうでも良いとまでは言えないけど，書き方の問題であって，本質は何階の空集合であるのかの方が大切だと思っています。 -- K.I. 2007-05-02 (水) 19:26:36

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