査読/双対基底の図形的関係(Joh著)/4 - 物理のかぎプロジェクトWiki

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図のベクトルの長さ †

院試が来週でとにかく一段落する予定(あくまで予定･･･)なので、それまでは亀さんのごときペースで読んでいます。。

記事の中にあった図は大変分かりやすいです！
なんとなく考えていたのですが、

$|\vec{e_1}|cos{\theta_1}=|\vec{e^1}|$

$|\vec{e_2}|cos{\theta_2}=|\vec{e^2}|$

てな感じの図が書かれている気がしました。
(θはそれぞれのベクトルが作る角度です。) ということは、

$cos{\theta_1}=\frac{|\vec{e^1}|}{|\vec{e_1}|}$

$cos{\theta_2}=\frac{|\vec{e^2}|}{|\vec{e_2}|}$

幾何ベクトルで双対の定義を表せば、

$\vec{e_1} \cdot \vec{e^1}=|\vec{e^1}| |\vec{e_1}| cos{\theta_1} = |\vec{e^1}|^2 =1$

となるから、この図の中では

$|\vec{e^1}|=|\vec{e^2}|=1$

として描かれているのかぁ～と思いました。
それさえすぐに思いつけば、図を見て、「双対の定義が成り立っている！！！」ということが見えてきました。

やはり、抽象的な表現や概念は数学では大事ですが、具体的な図を見て親近感が沸いてくのも大事なことですね。

Johさんの本文に，「黒子のコラム」を入れて戴きたい！！！...！！！ -- mNeji? 2006-07-08 (土) 12:11:13
黒子さん、お忙しいところありがとうございます。しかし|e_1|cosTheta_1 = |e^1| は成り立たないような気がします。長さについて、何にも条件がありませんから。間の角を使って一般的にベクトルの長さの関係を表わすには、余弦定理を使わないと駄目ではないでしょうか？ -- Joh 2006-07-11 (火) 00:46:51
そうですね。。もちろん、cos{theta}が上の式が成り立つように定義されたものとして、そこからでてくる定理によってベクトルの長さの関係を表しています。　上の感想に書いたことは、記事に書いてある概念や図をなるべく具体化して見た場合、ちょっと「はっ！」と来るものがあって、面白かった･･･と言いたかっただけで、あまり深く考えての発言でもありませんでした。。 -- 黒子 2006-07-11 (火) 22:57:37