物理のかぎプロジェクト

メニュー

• トップ
• 物理のかぎプロジェクトについて
• メンバー情報
• 雑談用掲示板

• 査読
• rst2hooktail
• 執筆中
• かぎマニュアルズ
• メンバー専用
• 記事管理

• 間違い報告

• 物理のかぎしっぽ
• 掲示板

現在 8 名がオンラインです。

最新の25件

「合成関数の微分」でいいのでは？ †

メッセージ †

おつかれさまです。 (1)式の微分ですが、これって要するに「合成関数の微分」なのでは？

２変数の関数 F(x,y) で、yがxの関数 y=y(x) であるとき、 G(x)=F(x,y(x)) を xで微分すると
DG(x)/Dx = DF(x,y(x))/Dx = dF/dx + (dF/dy)*(Dy/Dx)

F(x,y)=(1)式の２つの x のうち１つを y にしたもの、 y(x) = x、とすれば(6)が得られます。

2014-10-30 追記 †

＞ 僕の好みは後者のx,yに対して対称な方なのです。

個人的にはわざわざ複雑にしないでも、と思いますが、 お好みなら両方書いておくのはどうでしょうか？
要は、２変数の関数 F(x,y) に、変数間の依存関係 y＝y(x) or x(s),y(s) を追加した G(x) or G(s) の微分を考えればよい、
ということが分かればよいと思います。

＞　陰関数表示ですか。それを利用する方法は興味があります。
＞　どう表現したらよいのでしょう？

すいません。思いつきで言ってみたまでです。
あまり実用的ではないと思います。

ところで、(1)式の微分、はなかなかよい問題ですね。
実は微分自体は暗算ですぐにできたのだけど、 なぜそうなるかは結構考えさせられました。

2014-11-01 追記 †

これが一番簡単？　記号を変えておくのがみそ。

２変数の関数 F(X,Y) を考えると、その増分 ΔF は
ΔF = (dF/dX)*ΔX + (dF/dY)*ΔY

G(x)=F(x,x) は F(X,Y) で　X=x, Y=x としたものなので、ΔX=Δx, ΔY=Δx より
ΔG = (dF/dX)*Δx + (dF/dY)*Δx

従って DG(x)/Dx = (dF/dX)(x,x) + (dF/dY)(x,x)

ここで (dF/dX)(x,x) は、F(X,Y) を X で偏微分したものに、 X=x, Y=y を代入したもの（こういうのはどう表記すればいいのでしょうか？）

● おまけ 〜 maxima でやってみた

最後の式の df(x^2,t)/dx は, f(x^2,t) を x で偏微分したものという意味でしょう。
上のやり方では、 これをさらに x^2 も微分した　x * (df/dX)(x^2,t)　という結果になります。
(df/dX) の dX がへんな気がしますが、要は「関数 f の最初の変数で微分した導関数」ということなので、 (df/dx)と同じことになります。

返答 †

• お疲れ様です、kuhcrowさん^^。査読をありがとうございます。 そうですね、kuhcrowさんのおっしゃる通り、 そうやって書こうかとも思いましたが、 どうせなら、多変数関数の微分として、 パラメータsを導入して、x,y両変数を対称的に扱った方が、 美しいかな、と思い、現在の形（証明２）になったのですよ。 と、こんな感じで、返答になっていますでしょうか(^^;)？ -- クロメル 2014-10-28 (火) 20:43:51
• こんばんは。内容はおまかせしますが、証明１、２とかだと、積分記号の x が x^2 になっただけで、パニクりませんか？　また対照的いうなら、陰関数表示の p(x, y)=0 も美しいですし。。。 -- kuhcrow 2014-10-28 (火) 21:24:07
• ああ、確かに僕の証明１では対応が難しいですね。うーん、証明２ならば、x=s^2などとすれば良いと思います。ちょっと話が変わるかもしれませんが、これは二次元デカルト座標のグラフの曲線長を求める時に、L=∫√(1+(dy/dx)^2 )dxとするか、L=√((dx/dt)^2+(dy/dt)^2 )dtとするかの違いみたいなものだと思うのですよ。僕の好みは後者のx,yに対して対称な方なのです。すいません。むむ、陰関数表示ですか。それを利用する方法は興味があります。どう表現したらよいのでしょう？ -- クロメル 2014-10-28 (火) 22:31:31
• こんばんは。上のページに追記しておきました。ではまた -- kuhcrow 2014-10-30 (木) 20:36:01
• はい、こんばんは^^。記事に追加しておきました。アドバイスありがとうございました。 -- クロメル 2014-10-30 (木) 22:14:40
• どうでもいいようなものですが、もう一案追加しました。「対称」で、 x(s),y(s)などひねりださなくてもすみます -- kuhcrow 2014-11-01 (土) 16:00:09