今更ですが †
メッセージ †
４元数について今更読んでみました(この時期僕は何をしてたのだろう？)。気になったところがあったので一応書いておきます。冒頭部分に書かれている「乗法の交換則を犠牲にすればなんとか四元数というものを定義することが出来ます．」なんですけど、僕の認識ではハミルトンが虚数を拡張させたものでそんなネガティブなものではないという事です。更に４元数からスカラーとベクトルが定義されていったかと思います。僕は４元数については物理の本でチラッとしか見たことが無いのですが、これによってスカラーとベクトルの定義がより明確になりました。以上独り言でした。
最後になぜ今更読んだのか書いておきます。
記事「角速度と速度の関係」の計算にオイラー角を用いたのですが、オイラー角に関する記事は今のところありません。なので４元数を用いてみようかと思いました。しかし慣れてないのと、構成を丸々変えることになるのでとりあえずは諦めます。
返答 †
- 読んで頂いてありがとうございます。もちろん、ハミルトンの動機はそんなにネガティブなものではありません。彼は思いついたとき、大喜びで式を近くにあった橋に書き込んでしまったほどです。私は、四元数を定義するには、どうしても交換則を犠牲にする必要があるんです、ということを書いたつもりでした。ハミルトンの苦悩を表現したものではありません。例えば、５元数、６元数、７元数は定義不能ですが、８元数というのは定義可能です。ただし、８元数では交換則に加えて分配則が犠牲になります。次は１６元数が可能なんでしょうけど、これ以上演算規則が犠牲になったら、不便すぎますよね。１元数(実数)から２元数(複素数)への拡張が、たまたまうまくいっただけで、それ以上の超複素数では、だんだん演算規則が崩れていきますよ、ということを伝えたいのですが、こういった先の話も、続編の希望があれば書いてもいいですね。四元数から、スカラーとベクトルが定義される、というくだりは意味がよくわからないので、追加説明をお願いします。スカラーとベクトルで四元数を表現する方法については、本文中でも触れたつもりですが、私にはあれがベクトルの定義だとは思えないのですが。慣れてらっしゃらないということですが、4元数は行列に対応させることが出来ます。群として同じ構造をしているので。おこめさんなら、パウリのスピン行列とか、なんかそういうのをご存知なんじゃないでしょうか。あれと四元数は同じことです。 -- Joh
- ハミルトンは４元数の実数部分をスカラーと呼び、虚部をベクトルと呼ぶことにしました。その後、ベクトルとスカラーを切り離してベクトル解析（切り離したら自乗は正としようが負としようが事情は変わらない事はすぐに分かるかと思います。）がギブズとヘヴィサイドによって確立されました。僕が言いたかったのはそういうことです。４元数が３×３行列に対応する事は知っています。知っているからこそ４元数で現在査読に回している記事を計算しなおそうかと思いました。しかしそれでは全く別のものをもう一つ書くことになってしまうので諦めたというわけです。連続体力学の講義だったかと思いますが行列も対角成分のことをスカラー成分と言っていたかと思います（おそらくいい加減な説明）。 -- おこめ
- おこめさんのおっしゃる通り、スカラーとベクトルというのはハミルトンが四元数から使い始めた言葉のようですね。勉強になりました。ありがとうございます。ただし、現代的な意味で、四元数の虚数部分をベクトルの定義とする、というのが適当かどうか、悩むところです。少し考えさせてください。エピソードとして追加しておくのは賛成です。ところで、私の記憶では、パウリのスピン行列っていうのは2X2でした。 -- Joh
- 確かにそうですね。僕はそれについては触れていないと思います。僕が読んだ本は４元数の３×３の行列への対応のみの説明しかなかったのでパウリ行列への応用は知りません。あとjohさんの記事はまだ精読した訳ではないのでそのような説明が書かれていたかどうかは確認できていません。それとも以前の書き込みへの訂正でしょうか？ -- おこめ
- 自分の書き込みの訂正ではありません。私がパウリ何たらと触れた後で、おこめさんが「４元数が３×３行列に対応する事は知っています」と書かれたので、私に対する返答かと思ったのです。まさか量子力学の再入門を書くほどのおこめさんが勘違いをされているはずもなかろうと思いつつも、お節介で書き込んだだけです。最初の返答にきちんと書いたつもりですが、群として同じ構造をしている、ということで全ての説明は尽きています。 -- Joh
- 群ですか・・・名前は聞いた事はありますが知りません。僕が知っているような数学は高校レベルからほとんど変わりないことを言っておきます。
- ひょっとして行列の中に行列を入れるような感じですか？パウリ行列なら演算子の行列表示の中に埋め込まれた形で存在しているかと思います。group theory は相対論あたりから必須になるかと思いますが、今の僕には毒です。 -- おこめ
- 「まさか量子力学の再入門を書くほどのおこめさんが勘違いをされているはずもなかろうと思いつつも、お節介で書き込んだだけです。」ですが、ご存知のとおり書けませんでした。正確には書こうとした時期があったというだけです。それからパウリ行列の物理的な意味などほとんど僕は理解していません。パウリ行列はスピンを表していたと思います。スピンというのはおそらく素粒子やその複合粒子の質量エネルギーに関わる内部自由度かと思っています。あと数学的には全く同じ行列でアイソスピンというものを表せるという記憶がありますが、確かではありません。今、このあたりの事について山本さんがコメントをくれるかもしれないと勝手に期待しています。 -- おこめ
- やや嫌味を言いました。ごめんなさい。私も別に数学は得意ではありませんが、協力できることがありそうならば、何でも聞いてください。これはおこめさんにお願いですが、日本語はなるべく正確に書くようにしてください。それから、あまり詳しくない内容や、不確かな知識については断定的な書き方は避けたほうが良いかと思われます。やや、読んでむっとするコメントが散見されます。これは、おこめさんにとって損だと思います。 -- Joh
- やはりそうでしたか。おそらく僕に関わる全員が思っていることだと思います。どうもすみません。僕にとっては何も損ではないですが、皆さんには多大な迷惑をかけているかと思います。おそらく皆さんはこんな文章の書けない人間にであった事が無いのでしょう。これが精一杯です。 -- おこめ
- 自分は必要の無い数学には興味が無いので群論だの微分形式などという言葉を使って教えていただいても分からないという事も伝えておきたいと思います。「勉強不足だ。」と非難されても別のところに興味があるので仕方の無い事だと自分では思っております。 -- おこめ
- おこめさん、私はこれ以上あなたとやり取りする気も時間も全くないのですが、あなたの方から話を始めておいて、興味が無いとは失礼ではないですか？私がまるで難しい数学でもひけらかしたかとでも言いたいのでしょうか。私はあなたの質問に答えただけで、何かを教えたつもりは毛頭ありません。私自身、何度も言うように数学は得意ではないし、あなたに数学を教えているほど暇ではないからです。あなたが、本気で御自身で始めた話題について理解を深めたいのであれば、私が触れたような数学はあなたにとって必要な数学です。勉強する気がないのなら、お願いですから最初から何も書かないで下さい。これはあなたの日本語の問題ではなく、礼儀と常識の問題です。それから、以前の書き込みの内容をちょくちょく削除したり変更するのはやめて頂けませんか。 -- Joh
- 過剰な期待をしないでください
 …それはまあいいんですが、「群論の言葉を使っても分からない」と断言されると、コメントの付けようがありません…。差し当たって、意味は分からなくても「四元数はSU(2)群と同じ構造を持っている」という言葉だけ頭の片隅に残しておくと、将来「ああ、そういうことか！」と思える日が来るでしょう。 -- 山本明
- ありゃ、また更新の衝突を起こしてしまった…。そうそう、変更後の記事を読みました。橋に落書きしたというエピソード、私は知らなかったのでとても新鮮で面白かったです。あの写真、どう入手したんですか？？＞Johさん -- 山本明
- そういえば、以前気になったことをついでに。細かい表現なんですが“…の演算規則を満たす虚数の「ような」数”という下り、私の感覚だと“虚数”じゃなくて“虚数単位<tex>i</tex>”のような数、かなぁ…と思うんです。虚数って言葉は「実数でない複素数」を指しているので。…あいかわらず細かい指摘ですみません。虚数のままでも問題はないと思います。 -- 山本明
- 「私が触れたような数学はあなたにとって必要な数学です。勉強する気がないのなら、お願いですから最初から何も書かないで下さい。」はい、分かりました。 -- おこめ
- 「これはあなたの日本語の問題ではなく、礼儀と常識の問題です。」気をつけます。「それから、以前の書き込みの内容をちょくちょく削除したり変更するのはやめて頂けませんか。」はい、止めます。 -- おこめ
- 僕はスカラーとベクトルの話をしていたつもりでしたが、群論の話だったようです。何の知識もなしに、話をすることは不可能なのでもうこれ以上のやり取りはしようとは思いません。物理に群論、微分形式？が必要なのかもしれませんが、現在僕には必要ありません。だから聞く必要も無かったのです。それすらも僕は分かりませんでした。どうもすみませんでした。 -- おこめ
- ＜「群論の言葉を使っても分からない」と断言されると、コメントの付けようがありません…。＞そうですか、それが僕にとっては重要なコメントでした。ありがとうございます。 -- おこめ
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査読/四元数（Joh著）/7
