記事ソース/exp(ix^2)のガウス積分
メニュー現在 4 名がオンラインです。 最新の25件2023-12-12
2023-11-11
2023-11-06
2023-07-15
2022-09-14
2022-07-01
2022-06-12
2022-04-13
2021-12-03
2021-10-07
2021-08-12
2021-07-26
2021-06-30
2021-06-06
2021-05-02
2021-04-17
2021-03-20
2021-03-19
2021-03-11
|
記事ソース/exp(ix^2)のガウス積分†これはrst2hooktailの記事ソース保存・変換用です（詳細）． コンバート公開・更新メニュー ▼▲記事ソースの内容============================================================
exp(ix^2)のガウス積分
============================================================
ファインマンの経路積分で何気なく使っていたので、
確かめてみました。短いです。
<tex>
I = \int_{-\infty}^\infty e^{ix^2} dx \tag{##}
</tex>
と置きます。
すると、収束因子として、 $\delta \to +0$ を用いて、
<tex>
I^2 &= \int_{-\infty}^\infty \int_{-\infty}^\infty e^{i(x^2+y^2)} dx dy \\
&= \int_{0}^\infty dr \int_0^{2 \pi} d \theta r e^{i r^2} \\
&= [\dfrac{e^{ir^2}}{2i}]_0^\infty [\theta]_0^{2 \pi} \\
&= \lim_{\delta \to +0} [\dfrac{e^{ir^2- \delta r}}{2i}]_0^\infty [\theta]_0^{2 \pi} \\
&= \dfrac{-1}{2 i}2 \pi \\
&= i \pi \tag{##}
</tex>
となり、
よって、
<tex>
I &= \int_{-\infty}^\infty e^{ix^2} dx \\
&= \sqrt{i \pi} \tag{##}
</tex>
ですね。なるほど、
<tex>
J &= \int_{-\infty}^\infty e^{- \alpha x^2} dx \\
&= \sqrt{\pi/\alpha} \tag{##}
</tex>
ですから、この $\alpha$ に $-i$ を代入したものに一致するのですね。
それでは、今日はこの辺で。お疲れ様でした。
@@author:クロメル@@
@@accept:2013-07-07@@
@@category:物理数学@@
@@id:ix2Gauss@@
|
