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記事ソース/dx/dtをdxとdtに分けて良いの?†これはrst2hooktailの記事ソース保存・変換用です(詳細). コンバート公開・更新メニュー ▼▲記事ソースの内容============================================================ dx/dtをdxとdtに分けて良いの? ============================================================ 短い記事です。積分をする時に $dx/dt = a(t)$ を $dx = a(t) dt$ として、 $x = \int dx = \int a(t) dt$ としますが、 少なくとも僕は最初とまどいました。 不思議な事に $dt = b(x) dx$ としても同じ結果が得られます。 それの根拠を探ります。 この記事ではこれを一般化して、 <tex> f(x) dx = g(t) dt \tag{##} </tex> と、 <tex> \dfrac{dx}{dt} = \dfrac{g(t)}{f(x)} \tag{##} </tex> の同値性を示します。 本題 =============== まず、式 $(1)$ から式 $(2)$ を導きます。 前提として、鎖の規則と逆関数の微分法を認めます。 準備として $f(x),g(t)$ の原始関数の一つを $F(x),G(t)$ 、積分定数 $C$ として、 <tex> \int f(x) dx &= \int g(t) dt \\ F(x) &= G(t) + C \\ x &= F^{-1}(G(t)+C) \tag{##} </tex> となります。ここで、式 $(3)$ の最終行の両辺を $t$ で微分します。 <tex> \dfrac{dx}{dt} &= \dfrac{F^{-1}(G(t)+C)}{dt} \\ &= \dfrac{dF^{-1}(G(t)+C)}{d(G(t)+C)} \dfrac{d(G(t)+C)}{dt} (\because \rm{chain \ rule}) \\ &= \dfrac{dx}{dF} g(t) \\ &= \left( \dfrac{dF}{dx} \right)^{-1} g(t) (\because \rm{Inverse \ function \ differentiation}) \\ &= (f(x))^{-1} g(t) \\ &= \dfrac{g(t)}{f(x)} \tag{##} </tex> こうして、式 $(1)$ から式 $(2)$ が導けました。 そして、逆をたどれば式 $(2)$ から式 $(1)$ を導けます。 よって、鎖の規則と逆関数の微分法を認めることで、 式 $(1)$ と式 $(2)$ は同値なものであると分かりました。 今日はこの辺で、お疲れさまでした。 @@author:クロメル@@ @@accept:2020-01-27@@ @@category:物理数学@@ @@id:separationOfdxdt@@ |