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記事ソース/対数関数lnと指数関数expが逆関数であることの証明†これはrst2hooktailの記事ソース保存・変換用です(詳細). コンバート公開・更新メニュー ▼▲記事ソースの内容============================================================ 対数関数lnと指数関数expが逆関数であることの証明 ============================================================ この記事では、 、 <tex> y= f(x)= \ln \ x = \log_e \ x </tex> が [*]_ 、 .. [*] 大学では、 $e$ を底とする対数関数 $\log_e \ x$ を、 $\ln \ x $ と書きます。 <tex> y= g(x) = e^x = \exp(x) </tex> の逆関数であることを確認します。 本題 ====================== <tex> y &= (f \circ g)(x) \\ &= \ln \ e^x \\ &= x \ln \ e \\ &= x </tex> は、簡単に示せます [*]_ 。 .. [*] ここで、 $\ln\ x^y = y \ln \ x$ という性質を用いました。 でははたして、 <tex> y &= (g \circ f)(x) \\ &= e^{\ln \ x} \\ &= x \tag{##} </tex> は、どうしたら示せるでしょうか? [*]_ .. [*] そもそも、 $y =\ln\ x$ は、 $e$ を $y$ 乗した時 $x$ になるときの $y$ という数の事だったので、 定義から考えると当然の結果ではあります。よって、以下は計算で示したい人だけ読んでください。 それには、ちょっと工夫が要ります。 式 $(1)$ において、 <tex> x = \exp(t) </tex> と置いてやるのです。 <tex> y &= (g \circ f)(x) \\ &=\exp(\ln \ x) \\ &= \exp(\ln \ e^t) \\ &= \exp(t \ln \ e) \\ &= \exp(t) \\ &= x \tag{##} </tex> 一番最後の行で、最初に決めた関係 $e^t=x$ を用いました。 これで、めでたく <tex> (f \circ g)(x)=(g \circ f)(x)=x </tex> が示せました。 では、そろそろ、今日はここまで。 @@author:クロメル@@ @@accept:2010-05-17@@ @@category:物理数学@@ @@id:lnAndExp@@ |