物理のかぎプロジェクト

メニュー

• トップ
• 物理のかぎプロジェクトについて
• メンバー情報
• 雑談用掲示板

• 査読
• rst2hooktail
• 執筆中
• かぎマニュアルズ
• メンバー専用
• 記事管理

• 間違い報告

• 物理のかぎしっぽ
• 掲示板

現在 2 名がオンラインです。

最新の25件

記事ソース/双曲線関数の公式１†

これはrst2hooktailの記事ソース保存・変換用です（詳細）．

コンバート

最近コンバートされた結果： HTML， PDF， TeX

公開・更新メニュー ▼▲

記事ソースの内容

• ソースのテキストファイルを表示

======================================================
双曲線関数の公式１
======================================================
双曲線関数に成り立つ公式は、 三角関数の公式１_ に大変よく似ています。


平方関係
-----------------------------------------------------
一番目の式は、公式というよりは定義そのものです。

<tex>
\cosh^2 \theta - \sinh^2 \theta = 1
</tex>


<tex>
1-\tanh^2 \theta = \frac{1}{\cosh^2 \theta}
</tex>

<tex>
1- \frac{1}{\tanh^2 \theta} =- \frac{1}{\sinh^2 \theta}
</tex>

加法定理
------------------------------------------------------

<tex>
\sinh(\alpha \pm \beta) = \sinh \alpha \cosh \beta \pm \cosh \alpha \sinh \beta
</tex>

<tex>
\cosh (\alpha \pm \beta) = \cosh \alpha \cosh \beta \pm \sinh \alpha \sinh \beta
</tex>

<tex>
\tanh (\alpha \pm \beta) = \frac{\tanh \alpha \pm \tanh \beta}{1 \pm \tanh \alpha \tanh \beta}
</tex>


２倍角の公式
--------------------------------------------------------------------
加法定理で $\alpha = \beta = \theta$ と置けば出てきます。

<tex>
\sinh 2 \theta = 2 \sinh \theta \cosh \theta 
</tex>

<tex>
\cosh 2 \theta = 2 \cosh^2 \theta -1 = 1+ 2\sinh^2 \theta = \cosh^2 \theta + \sinh^2 \theta
</tex>

<tex>
\tanh 2 \theta = \frac{2 \tanh \theta}{1+ \tanh^2 \theta}
</tex>

ここで $\tanh \frac{\theta}{2}=t$ と置くと、次のようにも表せます。
<tex>
\sinh 2 \theta = \frac{2}{1-t^2}
</tex>

<tex>
\cosh 2 \theta = \frac{1+t^2}{1-t^2}
</tex>

<tex>
\tanh 2 \theta = \frac{2t}{1+t^2}
</tex>


３倍角の公式
----------------------------------------------------------------
加法定理で、 $\alpha = \theta$ , $\beta = 2\theta$ と置き、２倍角の公式を再び使えば導けます。もしくは、オイラーの関係式 $\exp ^{\pm \theta} = \cosh \theta \pm \sinh \theta$ の両辺を３乗して、工夫するのも良い方法です。

<tex>
\sinh 3 \theta = 3 \sinh \theta + 4 \sinh^3 \theta 
</tex>

<tex>
\cosh 3 \theta = 4 \cosh^3 \theta -3 \cosh \theta 
</tex>

<tex>
\tanh 3 \theta = \frac{3 \tanh \theta + \tanh^3 \theta}{1+ 3 \tanh^2 \theta}
</tex>


半角の公式
--------------------------------------------------------
２倍角の公式から導けます。

<tex>
\sinh^2 \frac{ \theta}{2} = \frac{\cosh \theta -1}{2}
</tex>

<tex>
\cosh^2 \frac{ \theta}{2} = \frac{\cosh \theta + 1}{2}
</tex>

<tex>
\tanh^2 \frac{ \theta}{2} = \frac{\cosh \theta -1}{\cosh \theta +1}
</tex>

積和の公式
----------------------------------------------------------
この公式は、加法定理で $\sinh(\alpha \pm \beta)$ ,  $\cosh(\alpha \pm \beta)$ を計算しておき、うまく足したり引いたりして導きます。

<tex>
\sinh \alpha \cosh \beta = \frac{1}{2}\Big(  \sinh(\alpha + \beta) + \sinh (\alpha - \beta)\Big)
</tex>

<tex>
\cosh \alpha \sinh \beta = \frac{1}{2}\Big(  \sinh(\alpha + \beta) - \sinh (\alpha - \beta)\Big)
</tex>

<tex>
\cosh \alpha \cosh \beta = \frac{1}{2}\Big(  \cosh(\alpha + \beta) + \cosh (\alpha - \beta)\Big)
</tex>


<tex>
\sinh \alpha \sinh \beta = \frac{1}{2}\Big(  \cosh(\alpha + \beta) - \cosh (\alpha - \beta)\Big)
</tex>


和積の公式
------------------------------------------------------------------------
積和の公式で $\alpha = \frac{A+B}{2}$ , $\beta = \frac{A-B}{2}$ と置けば導けます。

<tex>
\sinh A +\sinh B = 2 \sinh \frac{A+B}{2}\cosh \frac{A-B}{2}
</tex>

<tex>
\sinh A -\sinh B = 2 \cosh \frac{A+B}{2}\sinh \frac{A-B}{2}
</tex>

<tex>
\cosh A +\cosh B = 2 \cosh \frac{A+B}{2}\cosh \frac{A-B}{2}
</tex>

<tex>
\cosh A -\cosh B = 2 \sinh \frac{A+B}{2}\sinh \frac{A-B}{2}
</tex>

逆に、和積の公式で $\frac{A+B}{2}=\alpha$ ,  $\frac{A-B}{2}=\beta$ と置けば積和の公式が得られます。


.. _三角関数の公式１: http://www12.plala.or.jp/ksp/mathInPhys/trigF1/


@@author: Joh@@
@@accept: 2006-01-15@@
@@category: 物理数学@@
@@id:hyperTrigF1@@