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記事ソース/行列の階数を区別するものは何か?†これはrst2hooktailの記事ソース保存・変換用です(詳細). コンバート公開・更新メニュー ▼▲記事ソースの内容============================================================ 行列の階数を区別するものは何か? ============================================================ みなさんは、 $n$ 次行列 $A$ の $rank A$ に ついて、 $rank A = n$ の時、正則なのはわかった、 じゃあ、 $rank A < n$ の時は、どんな性質を持っているのだろう。 特に $rank A = i,j\ \ \ (i,j<n, i \neq j)$ の時、 $i$ と $j$ の違いは? と考えたことはありませんか? その疑問の一つに答えるのが、この記事です。 数学になれている方は、「具体例」を飛ばして、「定理」まで飛んでしまって構いません。 具体例 ======================================= まずは、次の二次正方行列( $\dim S=2$ )の違いを調べてみましょう。 <tex> S=\begin{pmatrix} s_{11} & s_{12} \\ s_{21} & s_{22} \end{pmatrix} </tex> <tex> T=\begin{pmatrix} t_{11} & t_{12} \\ kt_{11} & kt_{12} \end{pmatrix} </tex> <tex> U=\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} </tex> ここで、 $k$ はある $0$ でない実数です。 これらの行列は、上から順に $rank\ S=2\ ,\ rank\ T=1\ ,\ rankU=0$ です。 この内、 $S$ は、 $\det S \neq 0$ として区別がつきます。 では、 $T$ と $U$ は、どうやって区別したらいいのでしょうか? 僕は、試しに固有方程式を思い出して、 $\det (T-\lambda I)$ と $\det (U-\lambda I)$ (ただし、 $\lambda$ は ある数、 $I$ は単位行列)を作ってみることにしました。 すると、 <tex> \det (T-\lambda I) &=(t_{11}-\lambda)(kt_{12}-\lambda)-kt_{11}k_{12} \\ &= \lambda^2 -(t_{11}+kt_{12})\lambda \tag{##} </tex> <tex> \det (U-\lambda I) = \lambda^2 \tag{##} </tex> なんらかの対称性により、 $T$ の方では、 $\lambda $ のゼロ乗の係数を $0$ に、 $U$ では、 $\lambda$ の一乗とゼロ乗の係数を $0$ になったと考えられるのではないでしょうか? 次に同様に三次の行列( $\dim S = 3$ )を考えてみます。 <tex> \det (S-\lambda I) &= \det \begin{pmatrix} s_{11}-\lambda & s_{12} & s_{13} \\ s_{21} & s_{22}-\lambda & s_{23} \\ s_{31} & s_{32} & s_{33}-\lambda \end{pmatrix} \\ &= (s_{11}-\lambda)(s_{22}-\lambda)(s_{33}-\lambda) + s_{21}s_{32}s_{13} + s_{12}s_{23}s_{31} \\ &- s_{12}s_{21}(s_{33}-\lambda) -s_{23}s_{32}(s_{11} -\lambda)-s_{13}s_{31}(s_{22} -\lambda) \\ &= -\lambda^3 + (s_{11}+s_{22}+s_{33})\lambda^2 -(s_{12}s_{21}+s_{23}s_{32}+s_{31}s_{13}-s_{11}s_{22}-s_{22}s_{33}-s_{33}s_{11})\lambda \\ &+ (s_{11}s_{22}s_{33}+s_{21}s_{32}s_{13}+s_{12}s_{23}s_{31}-s_{12}s_{21}s_{33}-s_{23}s_{32}s_{11}-s_{31}s_{13}s_{22}) \\ &= -\lambda^3 +tr\ S\ \lambda^2 -med\ S\ \lambda +\det S \tag{##} </tex> 式 $(3)$ で、 $med \ S = s_{12}s_{21}+s_{23}s_{32}+s_{31}s_{13}-s_{11}s_{22}-s_{22}s_{33}-s_{33}s_{11} $ と定義しました。( $med$ は、「中間」 $medium$ から名づけました。) ここで、 $rank \ S = 1$ の場合の一例を考えてみましょう。例えば、 <tex> S= \begin{pmatrix} s_{11} & s_{12} & s_{13} \\ k_1 s_{11} & k_1 s_{12} & k_1 s_{13} \\ k_2 s_{11} & k_2 s_{12} & k_2 s_{13} \end{pmatrix} </tex> ここで、 $k_1$ と $k_2$ は、ある定数です。この時、 三次の係数: $-1 \neq 0$ 、 二次の係数: $tr S = s_{11}+k_1s_{22}+k_2s_{33} \neq 0$ 一次の係数: $med S = k_1s_{11}s_{12}+k_1k_2s_{12}s_{13}+k_2s_{11}s_{13} - k_1s_{11}s_{12}-k_1k_2s_{12}s_{13}-k_2s_{11}s_{13} = 0$ 0次の係数: $\det S = 0$ またまた、なんらかの対称性により、一次とゼロ次の係数はゼロに なりました。 次は、 $rank \ S= 0$ の時を考えます。 <tex> S= \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} </tex> この時、三次の係数以外は、すべてゼロになります。 まとめると、 $\dim S = 2$ の時、 $rank \ S =2$ なら係数がゼロにならない、 $rank \ S=1$ の時、ゼロ次の係数がゼロ、 $rank \ S =0$ なら、一次の 係数までゼロ。 $\dim S =3$ の時、 $rank \ S=1$ の時、 $1$ 次までゼロ、 $rank\ S=0$ の時、 $2$ 次までゼロ。 ここから予想できるのは、次のような法則です。 <tex> x =\dim S - rank \ S -1= n-r-1 </tex> と置くと、 $x$ 次の項まで、ゼロになるのでしょう。 実際それは正しく、なりたちます。 詳しくは、次の証明を見てください。 定理 ========================== .. admonition:: theorem n次の正方行列 $A$ で、 $rankA=r(<n)$ のとき、特性多項式 $ \det (A-\lambda I)$ は、 $\lambda^i (i=0,1,2,\cdots,n-r-1)$ の係数が $0$ となる。 (証明) 右基本変形 $P$ 、左基本変形 $Q$ によって(この時、 $P,Q$ は $n$ 次正則行列)、任意の $n$ 次正方行列 $A$ は、 次の標準形 $B$ (n次正方行列)に変形することができる。 <tex> B&=QAP \\ &= \begin{pmatrix} I_r & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} </tex> ただし、 $I_r$ は $r$ 次の単位行列とする。 ここで、 $A-\lambda$ の特性多項式 $\Phi$ を考え、 行列式を取る記号を $\det$ でなく、 $| \ \ |$ で表すと、 <tex> |A- \lambda I | &= |Q^{-1}| |Q(A - \lambda)P||P^{-1}| \\ &= |Q^{-1}||P^{-1}||QAP-\lambda QIP| \\ &= |Q^{-1}||P^{-1}||B-\lambda QP| </tex> ここで、 $QP=S^{-1}$ と置くと、 $S^{-1}$ は正則行列なので、逆行列 $S$ を持ちますので、 <tex> |A- \lambda I |&= |Q^{-1}||P^{-1}||B-\lambda S^{-1}| \\ &= |Q^{-1}||P^{-1}||S^{-1}||SB-\lambda I| \\ &= |Q^{-1}||P^{-1}||QP| \left( \begin{pmatrix} S_{11} & S_{12} \\ S_{21} & S_{22} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} I_r & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} -\begin{pmatrix} \lambda I_r & 0 \\ 0 & \lambda I_{n-r} \end{pmatrix} \right) \\ &=\begin{pmatrix} S_{11} - \lambda I_r & 0 \\ S_{21} & -\lambda I_{n-r} \end{pmatrix} \\ &= |S_{11}-\lambda I_r||(-1)^{n-r}\lambda I_{n-r}| \\ &= (-1)^{n-r} (r-th \ order \ polynomial \ of\ \lambda) |\lambda I_{n-r}| \\ &= (-1)^{n-r} (r-th \ order\ polynomial \ of\ \lambda) \lambda^{n-r} </tex> よって、 $n$ 次多項式である、 $A$ の 特性多項式は、 $\lambda$ の $0$ 次から、 $n-r-1$ 次の項 [*]_ までの係数は、ゼロとなります。 .. [*] : ここで $Q,P$ は正則なので、 $S$ は正則。しかし、 $S_{11}$ も正則で $rank\ S_{11}=r$ となるとは限らず、正確には、「少なくとも $0$ 次から $n-r-1$ 次までは、係数がゼロ。」「しかし、n-r次以上の係数もゼロかも知れない」となります。 長年の疑問が晴れてすっきりしました(安堵)。 @@author:クロメル@@ @@accept:2009-08-16@@ @@category:物理数学@@ @@id:charaPoly@@ |