記事ソース/群の位数と元の位数
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群の位数と元の位数
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群の位数と、元の位数の区別が曖昧な人は、もう一度復習してから先へ進むようにしてください。この記事では、位数に関する美しい定理を幾つか勉強します。
巡回置換の位数
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.. admonition:: theorem
$m$ 項の巡回置換 $p=(1 \ 2 \ ....... \ m)$ の元の位数は、 $m$ です。
.. admonition:: proof
巡回置換 $p=(1 \ 2 \ ....... \ m)$ の冪乗を考えます。 例えば $p$ によって $1$ がどのように置換されるかを考えると、 $p$ によって $1$ は $2$ と交換され、 $p^{2}$ によって $3$ と交換され、 $p^{3}$ によって $4$ と交換され、、、、、、 $p^{m-1}$ によって $m$ と交換されます。これより、 $p,p^{2},...,p^{m-1}$ は全て異なる元であり(少なくとも $1$ が違うところにあるから)、また $e$ でもないことが分かります。 $p^{m-1}$ にもう一つだけ $p$ を掛けると、 $p^{m}$ は単位置換になることが分かります。すなわち、 $p$ を生成元として作った巡回群 $Z=\{e(=p^{m}),p,p^{2},...,p^{m-1} \}$ の位数は $m$ です。 $p$ の位数も $m$ だと言えます。■
とても美しい定理です。m次の巡回群の位数は $m$ でしたから、この定理を次のように言い換えることもできます。少し感動する結果です。
.. admonition:: theorem
有限巡回群では、群の位数と元の位数が一致します。
群の位数と元の位数の関係
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有限群の位数と、その元の位数については次のような簡単な定理がなりたちます。これも美しい定理です。
.. admonition:: theorem
有限群 $G$ の元 $a$ の位数は、 $G$ の位数 $|G|$ の約数になります。
.. admonition:: proof
群 $G$ の位数を $n$ とし、群 $G$ の元 $a$ の位数を $k$ とします $(k \leq n)$ 。 $a$ の生成する部分巡回群を $H$ とすると、さきほどの定理より $|H|=k$ が成り立ちます。一方、ラグランジェの定理より、 $|H|$ は、 $|G|$ の約数になっているはずでした。したがって、一般に、有限群 $G$ の元 $a$ の位数は、 $G$ の約数になります。■
位数が素数である群
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前節で、有限群の元の位数は、必ず群の位数の約数であるという結果を得ました。約数と聞いて『じゃあ $G$ の位数が素数だったらどうなるんだ？』と思った人は、なかなかセンスがあります。
ここで考える有限群群 $G$ は、単位元 $e$ だけの自明な群ではないとします。つまり、少なくとも単位元以外の元 $a$ を持ち、 $|G|\ne 1$ とします。
前節の定理より、 $a$ の位数は $G$ の位数の約数でしたが、 $G$ の位数が素数( $p$ とします)だとすると、 $a$ の位数は、 $1$ と $p$ のどちらかのはずです。しかし $|G|\ne 1$ でしたので、結局、 $a$ の位数は $p$ しかありえません。
つまり $a$ の冪乗のつくる巡回群 $\{a,a^{2},...,a^{p} \}$ は、群 $G$ 自身に一致するということです。
.. admonition:: theorem
群の位数が素数ならば、その群は巡回群です。
.. [*] この定理の意味するところは、なかなかショッキングです。ここまで巡回群を『対称群の特殊なもので一つの生成元だけからなる』という性質からのみ論じてきましたが、群の位数という、群の大局的な性質のみで決まってしまう事柄もあったのです。群論と整数論の隠された関係が、少し顔をのぞかせたような定理です。
@@author:Joh@@
@@accept: 2006-04-23@@
@@category: 代数学@@
@@id: GroupCharacter@@
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