記事ソース/可解群について補足
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記事ソース/可解群について補足†これはrst2hooktailの記事ソース保存・変換用です（詳細）． コンバート公開・更新メニュー ▼▲記事ソースの内容===============================================
可解群について補足
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有限群 $G$ の部分群の組成列を考えるとき、隣り合う群の商群 $G_{n}/G_{n+1}$ が全て可換群になるとき、 $G$ を *可解群* と呼ぶのでした。
<tex>
G = G_{0} \supset G_{1} \supset ... \supset G_{n-1} \supset G_{n} = \{ e \}
\tag{1}
</tex>
可解群の定義だけは 組成列と単純群_ で紹介していますが、その役割については何も触れませんでした。名前から察せられるように、方程式の可解性を考えるときに重要な概念なのです。この記事では、後でガロア理論で使うために必要な、可解群に関する定理を導いておきます。二つ定理を紹介しますが、二番目の方が特に重要です。
.. admonition:: theorem
群 $G$ の正規部分群を $H$ とします。 $G$ が可解群となるのは、 $H$ および $G/H$ が可解群になる場合に限ります。
.. admonition:: proof
式 $(1)$ の組成列を考えて、 $H=G_{k}$ だと仮定します。すると $H$ の組成列として $H= G_{k} \supset... \supset G_{n} = \{ e \}$ を考えることが出来ます。また、商群 $G/H$ の組成列は $G/H = G_{0}/H \supset G_{1}/H \supset ... \supset G_{n}/H = \{ e \}$ で与えられます。ここで 第三同型定理_ を使うと $(G_{i+1}/H)(G_{i}/H) \sim G_{i+1}/G_{i}$ が言えますので、結局 $G$ の組成列の要素である各 $G_{i}$ は、 $H$ や $G/H$ の組成列でも全く共通だということが示されます。これより定理が成り立つの明らかです。■
次の記事、 ガロア群と可解群_ の定理の証明では、次の定理を活用します。
.. admonition:: theorem
有限巡回群は可解群です。
.. admonition:: proof
証明は数学的帰納法によります。巡回群が一般に可換群であることより、位数が $1,2,3$ までの有限巡回群は、正規部分群として $\{ e\}$ しか含まないので、可解群になることは自明です。一般に、位数が $n-1$ までの巡回群が可解群になると仮定しましょう。このとき、位数 $n$ の有限巡回群 $Z_{n}$ に対し、もし $n$ が素数ならば、 $Z_{n}$ の正規部分群は $\{ e\}$ だけとなり、定理は自明です。 $n$ が素数ではないとして、 $n$ が素数 $p$ で割り切れるとすると、 シローの定理_ により、 $Z_{n}$ は位数 $p \ (<n)$ の部分群 $H$ を持ちます。特に $Z_{n}$ は可換群ですから、 $H$ は正規部分群で、このとき仮定より $H$ は可解群となり、 $G/H$ も可換群になります。■
まだ、この段階では定理の使い方がピンと来ないと思いますが、ゆっくりゆっくり進んで行きましょう。
.. _シローの定理: http://www12.plala.or.jp/ksp/algebra/Sylow/
.. _第三同型定理: http://www12.plala.or.jp/ksp/algebra/Isomorphism/
.. _組成列と単純群: http://www12.plala.or.jp/ksp/algebra/GroupSeries/
.. _ガロア群と可解群: http://www12.plala.or.jp/ksp/algebra/Radicals/
@@author:Joh@@
@@accept: 2007-03-03@@
@@category: 代数学@@
@@id: SolvableGroupsApp@@
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