記事ソース/ベクトルのモーメント（トルクと角運動量）

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記事ソース/ベクトルのモーメント（トルクと角運動量）†

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ベクトルのモーメント（トルクと角運動量）
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剛体の回転シーリズ第１弾です。
次の記事は、 角運動量_ です。

ベクトルのモーメント
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ベクトルは大きさと方向を持つ量ですが、もともと数学ではあまりその始点（どこから
ベクトルを引くか）を区別することはありません。しかし物理では、同じベクトルでも
その始点によって違う意味を持ったものになることがあります。例えば、物体に同じベクトル
で表される力を加える場合でも、どこを押すかによって物体の動きが変わってくることは、
容易にイメージできるのではないでしょうか。

ここで、ベクトルのモーメント [*]_ について説明します。下の図のように、原点を
、点 $ O $ とし、位置ベクトル $ \bm{r} $ で表される点 $ P $ に、ベクトル 
$ \bm{A} $ があるとします。

.. image:: chromel-moment-01-t.png

.. [*] モーメントというと、さまざまな亜種があります。力学では、モーメント（力のモーメント、トルクとも）、角運動量（運動量のモーメント）、慣性モーメント等があります。電磁気学では、双極子モーメント、磁気モーメント等。材料力学なんかでは、断面一次モーメント、断面二次モーメントなんていうのもあります。どれにも共通して言えるのは、ある強度と始点を問題とする位置の積で表され、採る座標系に依存している量のことのようです。


このとき、 $ O $ の周りのモーメントとは、
<tex>
\bm{M} = \bm{r} \times \bm{A}
</tex>
で表されるベクトル $ \bm{M} $ のことです。

外積を知らない人のために少し説明しますと、
このベクトルは、 $ \bm{r} $ と $ \bm{A} $ を含む平面に垂直で、大きさ
が $ |\bm{r}| \  |\bm{A}| \sin \theta $ のベクトルです。

成分としては、 $ \bm{r} $ の成分を $ (x,\ y,\ z) $ 、 $ \bm{A} $ の成分
を $ (A_x, \ A_y, \ A_z) $ とした時、
<tex>
M_x=yA_z- zA_y, \ \ \ M_y =zA_x -xA_z, \ \ \  M_z=xA_y-yA_x
</tex>

完全反対称テンソル_ （レヴィ・チヴィタの記号とも）を用いると、簡潔に、
<tex>
M_i=\varepsilon_{ijk}x_jA_k \ \ \ \ \ (i=1,2,3)
</tex>
と書けます。ここで同じ添字を並べて書いたときには、すべての和をとると
いうアインシュタインの縮約規則 [*]_ を用いています。

.. [*]  例えば $A_i B_i$ と書いたら、 $A_1B_1+A_2B_2+A_3B_3$ を表します。


トルクと角運動量
====================

特に力学では、このベクトルのモーメントの中でも重要なものとして、
トルク $ \bm{N} $ と、角運動量 $ \bm{L} $ があります。物体にかかる力 $ \bm{F} $ としてトルクは、
<tex>
\bm{N} = \bm{r} \times \bm{F}
</tex>
となり、角運動量は運動量 $\bm{p}= m\bm{v}$ として、
<tex>
\bm{L} = \bm{r} \times \bm{p}
</tex>
で表されます。

平行軸の定理
==============

モーメントは、どの点のまわりのモーメントを考えるかによって、変わってくるものです。
そこで最後に変換公式を書いて、終わりにします。 
$O$ から見た点 $ P $ をベクトル $ \bm{r} $ 、 $ O^\prime $ から
見た点 $ P $ をベクトル $ \bm{r}^\prime $ で
表し、 $ O $ から見た $ O' $ は、ベクトル $ \bm{R} $ とします。

.. image:: chromel-moment-02-t.png

このとき、 $ O $ から見たモーメント $ \bm{M}_O $ と
、 $ O^\prime $ から見たモーメント $ \bm{M}_{O^\prime} $ の間に次の関係が
成り立ちます。
<tex>
\bm{r} = \bm{r}^\prime + \bm{R}
</tex>
より、
<tex>
\bm{r} \times \bm{A} = \bm{r}^\prime \times \bm{A} + \bm{R} \times \bm{A}
</tex>
よって、
<tex>
\bm{M}_{O} = \bm{M}_{O^\prime} + \bm{R} \times \bm{A}
</tex>
が成立します。
このように、ある点でのモーメントが分かれば、別の点でのモーメントを知ることができます。


続きは こちら_ 

.. _こちら: http://hooktail.sub.jp/mechanics/angularMomentum/
.. _角運動量: http://hooktail.sub.jp/mechanics/angularMomentum/
.. _完全反対称テンソル: http://hooktail.sub.jp/vectoranalysis/LeviCivita/

@@author:クロメル@@
@@accept:2007-03-17@@
@@category:力学@@
@@id:moment@@

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