記事ソース/ブックエンドはなぜ倒れないか
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ブックエンドはなぜ倒れないか
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みなさんは、机の上に本を立てて並べたことはありませんか？
L字型のブックエンドを使わないとすぐ倒れてしまいますよね。
今回は、なぜブックエンドをつかうと本が倒れないかを考えてみます。
モデル化
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.. image :: chromel-bookEnd-01-t.png
ブックエンドの重心を図の様に $(x,y)=(r \cos \theta,r \sin \theta)$ と置きます。
左側に倒れない為には、 $ \theta $ が微小量 $d \theta$ だけ増えた時、
重心の位置のポテンシャルエネルギー $U$ に対し、 $\dfrac{dU}{d \theta}>0$ であれば大丈夫です。
ここで $U = mg r \sin \theta $ ですから、
<tex>
\frac{dU}{d \theta} = mgr \cos \theta > 0 \tag{##}
</tex>
<tex>
0 \leq \theta < \dfrac{\pi}{2}
</tex>
ならば、倒れないことになります。θの値がゼロに近ければ近いほど、つまり、ブックエンドの底面が長ければ長いほど、
倒れにくくなります。
逆にブックエンドを使わない時には、 $ \theta \sim \dfrac{\pi}{2} $ かつ、 $ \dfrac{d U}{d \theta} \sim 0 $ ですから、
倒れてしまうことになります。
通常の環境では、本の重心が持ち上がることはないので、
何がブックエンドの良さを決めるかというと、
それは、机との摩擦の大きさです。
つまり、ブックエンドは傾くことはないですが、滑って本が倒れることの方が起きやすいのです。
それでは、今日はこの辺で。お疲れ様でした。
@@author:クロメル@@
@@accept:2011-05-17@@
@@category:力学@@
@@id:bookEnd@@
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