記事ソース/ハイネ・ボレルの被覆定理と論理学
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ハイネ・ボレルの被覆定理と論理学
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複素関数論を勉強していて、ハイネ・ボレルの被覆定理というものに出会いました。
詳しくは、「数学・物理解説サイト JSciencer」さんの Heine-Borelの被覆定理_ をご覧いただくとして、
論理学的側面から、言いかえを行ってみたいと思います。
定理(下記参考文献からの引用)
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その定理というものは次のようなものです。
『z平面上の任意の閉集合 $A$ は、それが開集合 $U_\lambda \ \ (\lambda \in \Lambda : \Lambda$ は点集合 $)$ の合併集合 $U= \cap_{\lambda \in \Lambda}U_\lambda$ で覆われているならば、有限個の集合 $U_\lambda$ で覆われる。』
ここで、
α:z平面上の任意の閉集合 $A$ である。
β:開集合の合併集合 $U$ で覆われている。
γ:有限個の集合で覆われる。
とおくと、この定理の意味するところは、 $\alpha \Rightarrow (\beta \Rightarrow \gamma)$ となります。
この論理を言い換えてみましょう。まず、真理値表を書くと、
.. csv-table::
:header: " $\alpha$ ", " $\beta$ ", " $\gamma$ "," $\beta \Rightarrow \gamma$ "," $\alpha \Rightarrow (\beta \Rightarrow \gamma)$ "
"T","T","T","T","T"
"T","T","F","F","F"
"T","F","T","T","T"
"T","F","F","T","T"
"F","T","T","T","T"
"F","T","F","F","T"
"F","F","T","T","T"
"F","F","F","T","T"
となります。
論理的言いかえ
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ここで、同値関係にある論理の変形を行います。
その関係とは「対偶法」、 $(X \Rightarrow Y) \Leftrightarrow (\overline{Y} \Rightarrow \overline{X})$ と、
名前を知りませんが、有名な同値関係（「ならばの否定」とでも言いましょうか。）、 $ (\overline{X \Rightarrow Y}) \Leftrightarrow (X \wedge \overline{Y}) $ です
。 $\alpha \Rightarrow (\beta \Rightarrow \gamma)$ を変形していくと、
一： $\alpha \Rightarrow (\beta \Rightarrow \gamma)$
二： $(\overline{\beta \Rightarrow \gamma}) \Rightarrow \overline{\alpha} $
三： $(\beta \wedge \overline{\gamma}) \Rightarrow \overline{\alpha} $
となります。
さて、「三」のアルファベットに元の意味を代入してみましょう！
（「開集合の合併集合 $U$ で覆われている。」かつ「有限個の集合で覆われない」）ならば「z平面上のある閉集合 $A$ ではない。」ということになります。「任意の」は否定すると「ある」に変わるところに注意してください。少し定理の内容が身近になった気がしませんか？
それでは、今日はこの辺で。お疲れ様でした。
.. _Heine-Borelの被覆定理: http://jsciencer.com/unimath/bisekibun/2125/
@@reference: 松田哲,理工系の基礎数学５『複素関数』,岩波書店,1996,p15,4000079751@@
@@author:クロメル@@
@@accept:2014-01-14@@
@@category:論理学@@
@@id:heineBorel@@
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