あらゆる実数 &tex{\lambda \ (0 < \lambda)}; について，ガンマ関数はつぎの積分で定義される
#tex{{{
\Gamma(\lambda) = \int_{0}^{\infty}x^{\lambda-1}e^{-x}dx
}}}
ガンマ関数は n! を解析接続した関数である．これを部分積分すると
ガンマ関数は &tex{n!}; を解析接続した関数である．これを部分積分すると
$\displaystyle \Gamma(\lambda)=(\lambda-1) \Gamma(\lambda-1) ,\qquad \lambda\geqq2$ (11.6)
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\Gamma(\lambda)=(\lambda-1) \Gamma(\lambda-1) ,\qquad \lambda\geqq2
}}}
となる．特に $ \lambda$ が整数のときは
となる．特に &tex{\lambda}; が整数のときは
$\displaystyle \Gamma(\lambda)=(\lambda-1)!$ (11.7)
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\Gamma(\lambda)=(\lambda-1)!
}}}
である．以下にガンマ関数の例を上げる．
である．以下にガンマ関数の例を挙げる．
$\displaystyle \Gamma(1)=1, \quad \Gamma(2)=1, \quad \Gamma(3)=2, \quad \Gamma\l... ...frac{\sqrt{\pi}}{2}, \quad \Gamma\left(\frac{5}{2}\right)=\frac{\sqrt{3\pi}}{4}$
#tex{{{
\Gamma(1)=1, \quad \Gamma(2)=1, \quad \Gamma(3)=2, \quad
\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)=\sqrt{\pi}, \quad
\Gamma\left(\frac{3}{2}\right)=\frac{\sqrt{\pi}}{2}, \quad
\Gamma\left(\frac{5}{2}\right)=\frac{\sqrt{3\pi}}{4}
}}}
// Sakima 2005-07-12
