物理のかぎプロジェクト

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#rst2hooktail_source =========================================================... 三次元対象物の複素積分表現（事例紹介） =========================================================... 本記事では, 複素解析の教科書ではあまり見られない、三次元... 1. 基本的な式 ========================================================= ここでは, コーシーの積分公式を含む複素解析の基本的な式を... さて, $D$ は複素平面上の単連結領域(穴が開いていない領域)... <tex> f(a) = \cfrac{1}{2\pi i} \displaystyle\oint_{C=\partial ... </tex> ここで, $\bar{z}$ は, 複素数 $z$ の複素共役（complex con... <tex> dz d \bar{z} = -2 i d D \tag{1.2} </tex> であることから, 式(1.1）は二項目を書き変えて, <tex> f(a) = \cfrac{1}{2\pi i} \displaystyle\oint_{C=\partial ... </tex> とも表せる. さて, $f(z)$ が $D$ 上の正則関数（holomorphic function）... <tex> f(a) = \cfrac{1}{2\pi i} \displaystyle\oint_{C} \cfrac{f... </tex> となる. これがコーシーの積分公式(Cauchy Integral Formula)... <tex> 1 = \cfrac{1}{2\pi i} \displaystyle\oint_{C} \cfrac{1}{... </tex> そして, 式（1.4）と式（1.5）から次が成り立つ. <tex> f(a) = \cfrac{\displaystyle\oint_{C} \cfrac{f(z)}{z-a} d... </tex> なお, 式(1.1)において, $f(z)=\pi (z-a) \bar{z} $ (これ... <tex> \cfrac{1}{2i} \displaystyle\oint_{C=\partial D} \bar{z} ... </tex> という $D$ に関する基本的な関係式が得られる. 2. コーシーの積分公式の幾何学的解釈 ========================================================= 三次元対象物の複素積分による表現に入る前に, 複素積分自体... 2.1 変数変換 ------------------------ 以下の変数変換を考える. <tex> z^{\prime} = \log(z-a) \tag{2.1} </tex> ここで, $\log(z)$ は自然対数である. 複素関数の対数は一般... ここで, $z-a = re^{i \theta}$ , $0 \leq \theta \leq 2\p... 2.2 幾何学的解釈 ------------------------ 式(1.6)は, $\cfrac{d}{dz} \log(z) = \cfrac{1}{z}$ 及び変... <tex> f(a) &= \cfrac{ \displaystyle\oint_{C} f(z) d( \log(z-a)... \\ &= \cfrac{ \displaystyle\int_{C^{\prime}} f( e^{z^{\pri... </tex> 式(2.3)によれば, $f(a)$ は, （開いた）曲線 $C^{\prime}$ ... 2.3 解釈の整合性 ------------------------ 実は, 上記の議論で, <tex> \cfrac{1}{2\pi i} \displaystyle\oint_{C=\partial D} \cfr... </tex> という積分は, 変数変換(2.1)を行わなくてもそのまま, $C$ ... さて, 平均値(2.4)は, 平均値(2.4)自体を関数 $\cfrac{1}{z-a... <tex> \displaystyle \oint_{C= \partial D} \cfrac{1}{z-a} \left... </tex> 実際, ここで, 左辺の括弧内に式（1.1）を用いれば, <tex> \displaystyle \oint_{C= \partial D} \cfrac{1}{z-a} \left... </tex> であり, 左辺は, <tex> 2\pi i f(a) - \displaystyle\int \displaystyle\int_{D} ... </tex> であることから, 両辺を $2\pi i$ で割れば, コーシー・ポン... 3. 三次元的な対象物を複素積分で表現する =========================================================... 筆者は, 中学の終わりごろから, 独学で微分積分学を学び, つ... しかし, もちろん, 複素解析には本来そのような限定はない. ... 3.1 立体の体積 ------------------------ 式(1.2)(または, 式(1.7))から, <tex> D = \frac{1}{2i} \displaystyle\int \displaystyle\int_{D}... </tex> である. ここで, $D$ が時間的に変化する(つまり $C=\partia... <tex> D(t) = \frac{1}{2i} \displaystyle\int \displaystyle\int_... </tex> 立体の体積を複素積分で表現するために, 立体を一方向に平面... <tex> V &= \displaystyle\int_{V} dV \\ &= \displaystyle\int_{0}^{T} D(t) dt \\ &= \frac{1}{2i} \displaystyle\int_{0}^{T} \displaystyle\i... \tag{3.3} </tex> 3.2 球の体積 ------------------------ ここで, 具体的な例として, 3次元の球を対象に考えてみよう. ... <tex> D(t) = \left\{ z \,\, | \,\, |z| \leq \sqrt{2Tt-t^{2}} \... </tex> となり, 時刻 $t=0$ から 時刻 $t=2T$ まで厚み $dt$ の円盤 ... <tex> \frac{4 \pi}{3} T^{3} &= \displaystyle\int_{0}^{2T} D(t... &= \displaystyle\int_{0}^{2T} \pi (\sqrt{2Tt-t^{2}})^2 dt... &= \frac{1}{2i} \displaystyle\int_{0}^{2T} \displaystyle\... </tex> という関係が得られる. .. image:: timeslicedcp.png ところで, 式(3.5)では, 時刻 $t$ の円盤(つまり2次元球) $D(... <tex> B_{3}(t) = \frac{4 \pi}{3} \bigl( \sqrt{2Tt-t^{2}} \bigr... </tex> であり, 四次元球の体積は, <tex> B_{4}= \displaystyle\int_{0}^{2T} B_{3}(t) dt = \frac{{\... </tex> となる. このことを踏まえ, 時刻をもう一つ増やして, 式(3.5)... <tex> B_{4} = \frac{1}{2i} \displaystyle\int_{0}^{2T} \display... </tex> となる. このようにして, 複素積分を一般次元の球の体積と結... 3.3 ストークスの定理 ------------------------ 3.1項と同様に, 各時点の複素平面を考えることで三次元的な空... このような複素数を含んだベクトル表示における二つのベクト... <tex> \bm{A} \cdot \bm{B} \equiv \overline{a_{1}}b_{1} + \ove... </tex> <tex> \bm{A} \times \bm{B} \equiv ( \overline{a_{2}}b_{3} - \... </tex> これらはそれぞれ成分が実数の場合の定義を包含している. な... さて, ベクトル場 $\bm{A}= (A_{1}, iA_{2}, A_{3})$ に対し,... <tex> \displaystyle \oint_{L= \partial S} \bm{A} \cdot d \bm{r... &= \displaystyle \oint_{L= \partial S} A_{1} dx + A_{2}... &= \displaystyle\int \displaystyle\int_{S} \Bigl( \frac... &= \displaystyle\int \displaystyle\int_{S} \Bigl( \frac... &= \displaystyle\int \displaystyle\int_{S} \overline{ \... &= \displaystyle\int_{S} \nabla \times \bm{A} \cdot d \b... </tex> であり, 実数解析のストークスの定理を利用することで, その... <tex> \displaystyle \oint_{L= \partial S} \bm{A} \cdot d \bm{r... </tex> ただし, ここで, $\nabla \equiv \Bigl( \frac{\partial}{\p... ガウスの定理(Gauss' Theorem)については、三次元空間のベク... <tex> \displaystyle \oint_{S= \partial V} \bm{B} \cdot d \bm{S... &= i \displaystyle \int \! \! \! \! \displaystyle \int_{S... &= i \displaystyle \int \displaystyle \int \! \displaysty... &= \displaystyle \int \displaystyle \int \! \displaystyl... &= \displaystyle \int_{V} \nabla \cdot \bm{B} dV \tag{... </tex> であり, 実数解析のガウスの定理を利用することで, そのまま... <tex> \displaystyle \oint_{S= \partial V} \bm{B} \cdot d \bm{S... </tex> 同様にして, ベクトル解析の諸公式を複素積分で表現すること... 3.4 パップスの定理 ------------------------ 3.3項で導入した 位置ベクトル $\bm{r}$ , 線素 $d \bm{r}$ ... パップスの定理では, 断面上のすべての点が断面に垂直になる... <tex> V = S \times \displaystyle\int_{L} \Bigm\| \cfrac{d}{dt... </tex> と表すことができる. ただし, 上で, $dr= \sqrt{ d \bm{r} \... (パップスの定理について, 詳しくは本記事末の関連メモをご覧... 3.5 補足 ------------------------ 多変数複素解析では, $(z_{1}, z_{2}, \cdots ,z_{n}) \in \... <tex> dV = \Bigl( \frac{1}{2i} \Bigr) ^{n} d \overline{z_{1}} ... </tex> 4. おわりに =========================================================... 本記事では, 三次元対象物を複素積分で表現する事例をいくつ... The English version of this article is here_ . .. _here: https://drive.google.com/open?id=1fiShSbFfhiT0q... On Generalizing The Theorem of Pappus is here2_. .. _here2: https://drive.google.com/file/d/0B3zqmK-7HgxgY... @@author: 鈴木康夫@@ @@accept: 執筆中@@ @@category: 複素解析@@ @@id: CauchyIntegralFormulaGeometry@@

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#rst2hooktail_source =========================================================... 三次元対象物の複素積分表現（事例紹介） =========================================================... 本記事では, 複素解析の教科書ではあまり見られない、三次元... 1. 基本的な式 ========================================================= ここでは, コーシーの積分公式を含む複素解析の基本的な式を... さて, $D$ は複素平面上の単連結領域(穴が開いていない領域)... <tex> f(a) = \cfrac{1}{2\pi i} \displaystyle\oint_{C=\partial ... </tex> ここで, $\bar{z}$ は, 複素数 $z$ の複素共役（complex con... <tex> dz d \bar{z} = -2 i d D \tag{1.2} </tex> であることから, 式(1.1）は二項目を書き変えて, <tex> f(a) = \cfrac{1}{2\pi i} \displaystyle\oint_{C=\partial ... </tex> とも表せる. さて, $f(z)$ が $D$ 上の正則関数（holomorphic function）... <tex> f(a) = \cfrac{1}{2\pi i} \displaystyle\oint_{C} \cfrac{f... </tex> となる. これがコーシーの積分公式(Cauchy Integral Formula)... <tex> 1 = \cfrac{1}{2\pi i} \displaystyle\oint_{C} \cfrac{1}{... </tex> そして, 式（1.4）と式（1.5）から次が成り立つ. <tex> f(a) = \cfrac{\displaystyle\oint_{C} \cfrac{f(z)}{z-a} d... </tex> なお, 式(1.1)において, $f(z)=\pi (z-a) \bar{z} $ (これ... <tex> \cfrac{1}{2i} \displaystyle\oint_{C=\partial D} \bar{z} ... </tex> という $D$ に関する基本的な関係式が得られる. 2. コーシーの積分公式の幾何学的解釈 ========================================================= 三次元対象物の複素積分による表現に入る前に, 複素積分自体... 2.1 変数変換 ------------------------ 以下の変数変換を考える. <tex> z^{\prime} = \log(z-a) \tag{2.1} </tex> ここで, $\log(z)$ は自然対数である. 複素関数の対数は一般... ここで, $z-a = re^{i \theta}$ , $0 \leq \theta \leq 2\p... 2.2 幾何学的解釈 ------------------------ 式(1.6)は, $\cfrac{d}{dz} \log(z) = \cfrac{1}{z}$ 及び変... <tex> f(a) &= \cfrac{ \displaystyle\oint_{C} f(z) d( \log(z-a)... \\ &= \cfrac{ \displaystyle\int_{C^{\prime}} f( e^{z^{\pri... </tex> 式(2.3)によれば, $f(a)$ は, （開いた）曲線 $C^{\prime}$ ... 2.3 解釈の整合性 ------------------------ 実は, 上記の議論で, <tex> \cfrac{1}{2\pi i} \displaystyle\oint_{C=\partial D} \cfr... </tex> という積分は, 変数変換(2.1)を行わなくてもそのまま, $C$ ... さて, 平均値(2.4)は, 平均値(2.4)自体を関数 $\cfrac{1}{z-a... <tex> \displaystyle \oint_{C= \partial D} \cfrac{1}{z-a} \left... </tex> 実際, ここで, 左辺の括弧内に式（1.1）を用いれば, <tex> \displaystyle \oint_{C= \partial D} \cfrac{1}{z-a} \left... </tex> であり, 左辺は, <tex> 2\pi i f(a) - \displaystyle\int \displaystyle\int_{D} ... </tex> であることから, 両辺を $2\pi i$ で割れば, コーシー・ポン... 3. 三次元的な対象物を複素積分で表現する =========================================================... 筆者は, 中学の終わりごろから, 独学で微分積分学を学び, つ... しかし, もちろん, 複素解析には本来そのような限定はない. ... 3.1 立体の体積 ------------------------ 式(1.2)(または, 式(1.7))から, <tex> D = \frac{1}{2i} \displaystyle\int \displaystyle\int_{D}... </tex> である. ここで, $D$ が時間的に変化する(つまり $C=\partia... <tex> D(t) = \frac{1}{2i} \displaystyle\int \displaystyle\int_... </tex> 立体の体積を複素積分で表現するために, 立体を一方向に平面... <tex> V &= \displaystyle\int_{V} dV \\ &= \displaystyle\int_{0}^{T} D(t) dt \\ &= \frac{1}{2i} \displaystyle\int_{0}^{T} \displaystyle\i... \tag{3.3} </tex> 3.2 球の体積 ------------------------ ここで, 具体的な例として, 3次元の球を対象に考えてみよう. ... <tex> D(t) = \left\{ z \,\, | \,\, |z| \leq \sqrt{2Tt-t^{2}} \... </tex> となり, 時刻 $t=0$ から 時刻 $t=2T$ まで厚み $dt$ の円盤 ... <tex> \frac{4 \pi}{3} T^{3} &= \displaystyle\int_{0}^{2T} D(t... &= \displaystyle\int_{0}^{2T} \pi (\sqrt{2Tt-t^{2}})^2 dt... &= \frac{1}{2i} \displaystyle\int_{0}^{2T} \displaystyle\... </tex> という関係が得られる. .. image:: timeslicedcp.png ところで, 式(3.5)では, 時刻 $t$ の円盤(つまり2次元球) $D(... <tex> B_{3}(t) = \frac{4 \pi}{3} \bigl( \sqrt{2Tt-t^{2}} \bigr... </tex> であり, 四次元球の体積は, <tex> B_{4}= \displaystyle\int_{0}^{2T} B_{3}(t) dt = \frac{{\... </tex> となる. このことを踏まえ, 時刻をもう一つ増やして, 式(3.5)... <tex> B_{4} = \frac{1}{2i} \displaystyle\int_{0}^{2T} \display... </tex> となる. このようにして, 複素積分を一般次元の球の体積と結... 3.3 ストークスの定理 ------------------------ 3.1項と同様に, 各時点の複素平面を考えることで三次元的な空... このような複素数を含んだベクトル表示における二つのベクト... <tex> \bm{A} \cdot \bm{B} \equiv \overline{a_{1}}b_{1} + \ove... </tex> <tex> \bm{A} \times \bm{B} \equiv ( \overline{a_{2}}b_{3} - \... </tex> これらはそれぞれ成分が実数の場合の定義を包含している. な... さて, ベクトル場 $\bm{A}= (A_{1}, iA_{2}, A_{3})$ に対し,... <tex> \displaystyle \oint_{L= \partial S} \bm{A} \cdot d \bm{r... &= \displaystyle \oint_{L= \partial S} A_{1} dx + A_{2}... &= \displaystyle\int \displaystyle\int_{S} \Bigl( \frac... &= \displaystyle\int \displaystyle\int_{S} \Bigl( \frac... &= \displaystyle\int \displaystyle\int_{S} \overline{ \... &= \displaystyle\int_{S} \nabla \times \bm{A} \cdot d \b... </tex> であり, 実数解析のストークスの定理を利用することで, その... <tex> \displaystyle \oint_{L= \partial S} \bm{A} \cdot d \bm{r... </tex> ただし, ここで, $\nabla \equiv \Bigl( \frac{\partial}{\p... ガウスの定理(Gauss' Theorem)については、三次元空間のベク... <tex> \displaystyle \oint_{S= \partial V} \bm{B} \cdot d \bm{S... &= i \displaystyle \int \! \! \! \! \displaystyle \int_{S... &= i \displaystyle \int \displaystyle \int \! \displaysty... &= \displaystyle \int \displaystyle \int \! \displaystyl... &= \displaystyle \int_{V} \nabla \cdot \bm{B} dV \tag{... </tex> であり, 実数解析のガウスの定理を利用することで, そのまま... <tex> \displaystyle \oint_{S= \partial V} \bm{B} \cdot d \bm{S... </tex> 同様にして, ベクトル解析の諸公式を複素積分で表現すること... 3.4 パップスの定理 ------------------------ 3.3項で導入した 位置ベクトル $\bm{r}$ , 線素 $d \bm{r}$ ... パップスの定理では, 断面上のすべての点が断面に垂直になる... <tex> V = S \times \displaystyle\int_{L} \Bigm\| \cfrac{d}{dt... </tex> と表すことができる. ただし, 上で, $dr= \sqrt{ d \bm{r} \... (パップスの定理について, 詳しくは本記事末の関連メモをご覧... 3.5 補足 ------------------------ 多変数複素解析では, $(z_{1}, z_{2}, \cdots ,z_{n}) \in \... <tex> dV = \Bigl( \frac{1}{2i} \Bigr) ^{n} d \overline{z_{1}} ... </tex> 4. おわりに =========================================================... 本記事では, 三次元対象物を複素積分で表現する事例をいくつ... The English version of this article is here_ . .. _here: https://drive.google.com/open?id=1fiShSbFfhiT0q... On Generalizing The Theorem of Pappus is here2_. .. _here2: https://drive.google.com/file/d/0B3zqmK-7HgxgY... @@author: 鈴木康夫@@ @@accept: 執筆中@@ @@category: 複素解析@@ @@id: CauchyIntegralFormulaGeometry@@

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