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単純な図形を不変にする滑らかな流れの生成法
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この記事では、便利なベクトル場を生成する手法を論じます。
大雑把な話ですが、なかなか興味深いと思います。

いきなりの本題
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二次元平面上に２つの連続な陰関数

<tex>
f_1(x,y) = c_1 \\
f_2(x,y) = c_2 \tag{##}
</tex>

があるとします。

これは簡単に解釈すると、それぞれ境界で囲まれたある有界な領域から離れるにしたがって、
値を増す関数が左辺で、その等高線を指定するのが右辺の定数値です。
もちろん離れるにしたがって負に増大する場合はありますが、ここでは考えません。
その場合は全体にマイナスを掛ければいいからです。

ここで、関数 $f_i(x,y) - c_i$ は、それがゼロになる集合で仕切られる
領域の内側と外側では、必ず正のみか、負のみになり、混じることはありません。
なぜなら、混じっているなら、その領域間に境界が存在するはずだからです。

ここで、 $c_1,c_2$ を固定して、動くパラメータ $C$ を考えます。
下を考えてみましょう。

<tex>
(f_1(x,y) - c_1)(f_2(x,y) - c_2) = C \tag{##}
</tex>

これって、 $C=0$ の時は左辺の積の因子 $f_1(x,y) - c_1$ (これをゼロにする曲線を $\Gamma_1$ とする)か $f_2(x,y) - c_2$ (同じく $\Gamma_2$ とする)がゼロになっている時で、つまり、式 $(1)$ の和集合 $\Gamma = (\Gamma_1 \cup \Gamma_2)$ です。

面白いのはここからです。 $C$ を正負に動かしてみると、 $\Gamma$ に滑らかに沿った
曲線群になります。ここで、 $\Gamma_1$ から近い $\Gamma_2$ の点を
みると、 $C$ が正になった時、 $f_1(x,y) - c_1$ が小さいの
で、 $\Gamma_2$ からはある程度離れた点でもある点で、式 $(2)$ を満たした点の集合を作ります。
一方、 $\Gamma_1$ から大きく離れると、 $\Gamma_2$ はほとんど元の図形から動きません。

具体例
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５つほど、上げておきます。(数式可視化ソフトのdesmosを使うといいです)

(1)双曲線

<tex>
|x||y| = C \tag{##}
</tex>

(2)四直線に沿う曲線群

<tex>
(|x|-1)(|y|-1) = C \tag{##}
</tex>

カッシーニの卵型（ $\ell = a$ ではレムニスケート）

<tex>
((x-a)^2+y^2)((x+a)^2+y^2)=\ell^4 \tag{##}
</tex>

非対称なカッシーニの卵型

<tex>
((x-2)^2+y^2)((x+2)^2+y^2-1)= C \tag{##}
</tex>

便利なツールとして
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これベクトル場で良い感じのを取ってくるのに使えますね。
手計算ではなかなか複雑ですが、数値計算なら有効な手法かと思います。

つまり、曲線の法線ベクトルを求める手法である外微分
(これは一形式なので、それからベクトル場にしたもの)をとったり、
それに直交した曲線に沿うベクトルを容易に得ます。（単純な計算とは言っていない）

法線ベクトル場 $X$ は、 $\psi = (f_1(x,y) - c_1)(f_2(x,y) - c_2)$ として、

<tex>
X = \dfrac{\partial \psi}{\partial x}\dfrac{\partial}{\partial x} + \dfrac{\partial \psi}{\partial y}\dfrac{\partial}{\partial y}  \tag{##}
</tex>

接線ベクトル場 $Y$ は、

<tex>
Y = -\dfrac{\partial \psi}{\partial y}\dfrac{\partial}{\partial x} + \dfrac{\partial \psi}{\partial x}\dfrac{\partial}{\partial y}  \tag{##}
</tex>

となります。どうです？なかなか便利そうな手法ではありませんか？

今日はここまで。お疲れさまでした。

@@author:クロメル@@
@@accept:2021-04-17@@
@@category:微分・位相幾何学@@
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