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力学的エネルギー保存則の導出
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力学的エネルギー保存則を運動方程式から導いてみましょう．

1. 運動方程式を立てる
2. 両辺に速度の成分を掛ける
3. 両辺を微分の形で表す
4. イコールゼロの形にする

という手順で導きます．


運動方程式を立てる
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まず，つぎのような運動方程式を考えます．
<tex>
ma = -kx + mg
</tex>
これは重力 $mg$ とばねの力 $-kx$ が働いている物体（質量は $m$ ）の運動方程式です．


両辺に速度の成分を掛ける
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つぎに，運動方程式の両辺に速度の成分 $v$ を掛けます．
<tex>
mav = -kxv + mgv \tag{1}
</tex>
なぜそんなことをするかというと，こうすると都合がいいからです．どう都合がいいのかはもう少し後で分かります．


両辺を微分の形で表す
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式(1)は
<tex>
\frac{d}{dt}\left(\frac{1}{2}mv^2\right) = \frac{d}{dt}\left(-\frac{1}{2}kx^2+mgx\right) \tag{2}
</tex>
と微分の形で表すことができます．左辺は運動エネルギー，右辺第一項はバネの位置エネルギー（の符号が逆になったもの），右辺第二項は重力の位置エネルギー（の符号が逆になったもの），のそれぞれ時間微分の形になっています．なぜこうなるのかを説明します．

加速度 $a$ と速度 $v$ はそれぞれ
<tex>
a = \frac{dv}{dt},\qquad v = \frac{dx}{dt}
</tex>
という関係にあります．加速度は速度の時間微分，速度は位置の時間微分です．この関係を使って計算すると式(2)の左辺は
<tex>
\frac{d}{dt}\left(\frac{1}{2}mv^2\right)
 = \frac{1}{2}m\frac{d}{dt}(v^2)
 = \frac{1}{2}m\cdot 2v\frac{dv}{dt}
 = mav \tag{3}
</tex>
となります．ここで1行目から2行目のところで合成関数の微分公式を使っています．式(3)は式(1)の左辺と一緒ですね．運動方程式に速度 $v$ をあらかじめ掛けておいたのは，このように運動方程式をエネルギーの微分で表すためです．同じように計算していくと式(2)の右辺の第1項は
<tex>
\frac{d}{dt}\left(-\frac{1}{2}kx^2\right)
 = -\frac{1}{2}k\frac{d}{dt}(x^2)
 = -\frac{1}{2}k\cdot 2x\frac{dx}{dt}
 = -kxv
</tex>
となり，式(2)の右辺第1項と同じになります．第2項は
<tex>
\frac{d}{dt}\left(mgx\right)
 = mg\frac{dx}{dt}
 = mgv
</tex>
となり，式(1)の右辺第2項と同じになります．

なんだか計算がごちゃごちゃしてしまいましたが，式(1)と式(2)が同じものだということがわかりました．これが言いたかったんです．


イコールゼロの形にする
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式(2)の右辺を左辺に移項すると
<tex>
\frac{d}{dt}\left(\frac{1}{2}mv^2+\frac{1}{2}kx^2-mgx\right) = 0
</tex>
という形になります．この式は何を意味しているでしょうか．カッコの中身はそれぞれ運動エネルギー，バネの位置エネルギー，重力の位置エネルギーを表しているのでした．

それらを全部足して，時間微分したものがゼロになっています．ということは，エネルギーの合計は時間的に変化しないことになります．つまりエネルギーの合計は常に一定になるので，エネルギーが保存されるということがわかります．


@@author: 崎間@@
@@accept: 2003-08-13@@
@@category: 力学@@
@@id: enaglaw-derive@@