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留数定理とは
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この記事では、留数定理をかなり大雑把に、使い道まで解説します。

基本
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留数定理は、複素線積分に関する定理です。
もし、複素線積分が正則な領域を囲むなら、
積分値はゼロになります。これがコーシーの積分定理です。

ところが、囲む領域の中に正則でない点、例えば $f(z)=\dfrac{1}{z-1}$ のように、
非正則点（これを特異点と言います）があると、一周しても積分値がゼロでないことがあります。
だから、何なんだ。と思うでしょうが、これが非常に役に立ちます。
後で説明しますので、お楽しみに。

発想
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次の積分を計算しましょう。 $n$ を $-1$ でない整数とします。 $C_R$ は原点を囲む半径 $R$ の円です。 $z = R e^{i \theta}$ とすると、 $dz = i R e^{i \theta} d \theta$ で積分範囲は、 $\theta : 0 \to 2\pi$ です。

<tex>
\int_{C_R} z^n dz &= \int_0^{2 \pi} \left( R^n e^{i n \theta} \right) i R e^{i \theta} d \theta \\
&= i \int_0^{2 \pi} R^{n+1} e^{i (n+1) \theta} d \theta \\
&= \left[ \dfrac{i}{i(n+1)} R^{n+1} e^{i (n+1) \theta} \right]_0^{2\pi} \\
&= \dfrac{1}{(n+1)} R^{n+1} e^{i2 (n+1) \pi} - \dfrac{1}{(n+1)} R^{n+1} e^{0} \\
&= 0
\tag{##}
</tex>

ですね。では、これ見よがしに $-1$ を除外しましたが、この時どうなるか。
次に示します。

<tex>
\int_{C_R} z^n dz &= \int_0^{2 \pi} \left( R^{-1} e^{- i \theta} \right) i R e^{i \theta} d \theta \\
&= i \int_0^{2 \pi} 1 d \theta \\
&= i \left[ \theta \right]_0^{2\pi} \\
&= 2 \pi i
\tag{##}
</tex>

これだけ残るのです。しかもこの積分は示しませんが、積分路がこの点 $z=0$ を囲ってさえいれば、いつでも $2 \pi i$ となります。

ローラン展開
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ここで、 $f(z)$ をテイラー展開で $f(z) = a_0 + \dfrac{a_1}{1!}(x-a) + \dfrac{a_2}{2!}(x-a)^2 + \cdots$ と展開できますよね。
でも、これは $1/z$ の様な関数は展開できません。（この辺はどういう関数ならテイラー展開で良いかはよく知りません。）そこで、テイラー展開の拡張でローラン展開と言うものがあります。例えば、

<tex>
f(z) = a_{-2} (z-a)^{-2} + a_{-1} (z-a)^{-1} + a_{0} + a_{1} (z-a)^{1} + a_{2} (z-a)^{2} + \cdots \tag{##}
</tex>

があげられます。テイラー展開では $n!$ で割っていましたが、ローラン展開ではしませんね。ここで冪数の最低次の数を極の次数といい、この場合は、2次の極と言います。大抵は 1次の極の計算を知っていれば対処できます。もし、この次数が無限なら、真性特異点と言います。では、この式 $(3)$ を囲った複素線積分（積分路 $C$ ）はどうなるでしょう。 $z-a = R e^{i \theta}$ とすれば、これも $n=-1$ の寄与のみが残り、

<tex>
\int_{C} f(z) dz = 2 \pi i a_{-1} \tag{##}
</tex> 

となるのです。

いよいよ留数の登場
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実は、式 $(3)$ の $a_{-1}$ はわざわざ積分しなくても求まります。
式 $(3)$ に $(z-a)^2$ をかけてみましょう。

<tex>
(z-a)^2 f(z) = a_{-2} + a_{-1} (z-a)^{1} + a_{0}(z-a)^2 + a_{1} (z-a)^{3} + a_{2} (z-a)^{4} + \cdots \tag{##}
</tex>

さらに、 $z$ で微分してみましょう。

<tex>
\dfrac{d}{dz} \left( (z-a)^2 f(z) \right)= a_{-1} + 2a_{0}(z-a) + 3a_{1} (z-a)^{2} + 4 a_{2} (z-a)^{3} + \cdots \tag{##}
</tex>

そして、 $z=a$ を代入すると、

<tex>
\left. \dfrac{d}{dz} \left( (z-a)^2 f(z) \right)\right|_{z=a}= a_{-1} \tag{##}
</tex>

となります。この上式の左辺が留数と呼ばれるものです。

<tex>
Res_{z=a} f(z) = \left. \dfrac{d}{dz} \left( (z-a)^2 f(z) \right)\right|_{z=a} \tag{##}
</tex>

と書きます。

一次の極なら話はもっと簡単で、

<tex>
f(z) = a_{-1} (z-a)^{-1} + a_0 + a_1 (z-a) + \cdots \tag{##}
</tex>

なのですから、

<tex>
Res_{z=a}f(z) = \left. (z-a) f(z) \right|_{z=a} \tag{##}
</tex>

となります。どうです？積分がただの掛け算と代入だけで求まってしまいます。

式 $(4)$ と比べて、

<tex>
\int_{C} f(z) dz = 2 \pi i Res_{z=a} f(z) \tag{##}
</tex>

が言えます。これは覚えるべき公式です。
もし、他の極も囲った中にあるなら、

<tex>
\int_{C} f(z) dz = 2 \pi i \sum_{i} Res_{z=a_i} f(z) \tag{##}
</tex>

とすればよいです。これを留数定理と呼びます。

使い道
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例えば、この積分値が分かるようになると、普通は不定積分が計算できないのに、実関数 $x$ の積分 $\int_{-\infty}^\infty f(x) dx$ などの定積分が分かるようになります。必ずしも実関数でなくてもよいです。

具体例を挙げてみます。 $a>0$ として、

<tex>
\int_{-\infty}^\infty \dfrac{dx}{x^2+a^2} \tag{##}
</tex>

を計算します。それには積分路を図の様に取ります。

.. image :: chromel-residueTheorem-01.png

この経路 $C$ の反時計回り一周分の積分をします。

<tex>
\int_{C} f(z) dz &= \int_{C} \dfrac{dz}{z^2+a^2} \\
&= \int_{C_R} \dfrac{dz}{z^2+a^2} + \int_{-R}^R \dfrac{dx}{x^2+a^2} \tag{##}
</tex>

ここで、円弧 $C_R$ の積分は $R \to \infty$ で消えてしまいます。
この辺は詳しく書きません。（cf.フーリエ変換の応用にはジョルダンの補題が役に立ちます）残るのが、

<tex>
\int_{-R}^{R} \dfrac{dx}{x^2+a^2} \tag{##}
</tex>

ですね。この $R \to \infty$ の極限を計算します。
しかし、我々はこの積分一周の値を留数定理から知っているのです。
図に示した通り、極は $z^2+a^2 = (z+ia)(z-ia)$ より、
このかまぼこ型の領域には $z=ia$ が含まれています。

<tex>
\int_{C} \dfrac{dz}{z^2+a^2} &= 2 \pi i Res_{z = ia} f(z) \\
&= 2 \pi i \left[ (z-ia)\dfrac{1}{(z-ia)(z+ia)} \right]_{z=ia} \\
&= 2 \pi i \left[ \dfrac{1}{z+ia} \right]_{z=ia} \\
&= 2 \pi i \dfrac{1}{2ia} \\
&= \dfrac{\pi}{a}
\tag{##}
</tex>

これが言えたので、

<tex>
\lim_{R \to \infty} \int_{C} f(z) dz &= \lim_{R \to \infty} \int_{C} \dfrac{dz}{z^2+a^2} \\
&=\lim_{R \to \infty} \int_{C_R} \dfrac{dz}{z^2+a^2} + \lim_{R \to \infty} \int_{-R}^R \dfrac{dx}{x^2+a^2} \\
&= 0 + \int_{-\infty}^\infty \dfrac{dx}{x^2+a^2} \\
&= \dfrac{\pi}{a} \tag{##}
</tex>

ややこしいですが、つまりは、

<tex>
\int_{-\infty}^\infty \dfrac{dx}{x^2+a^2} = \dfrac{\pi}{a} \tag{##}
</tex>

となります。
この留数定理は、フーリエ変換やグリーン関数を求める際、強力な道具となります。

今日はここまで、お疲れさまでした。

@@author:クロメル@@
@@accept:2019-04-08@@
@@category:複素解析@@
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