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平方完成の図形的イメージ
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2次方程式を解く_ 際，「平方完成」という操作を行います．
はじめて授業で習ったとき，どうも変形の本質というか，
イメージが掴めなかった方も多いのではないでしょうか．
平方完成の“図形的イメージ”を捉えることを目標に，この記事を書きました．


平方完成とは
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2次方程式を解くときに，「なんとかの二乗＝定数」という形に変形することを，平方完成と呼びます．
たとえば
<tex>
 x^2+bx=c
</tex>
という2次方程式を平方完成すると，
<tex>
 \left(x+\frac{b}{2}\right)^2=c+\left(\frac{b}{2}\right)^2
</tex>
になります．この式変形の意味を，何とか図形的にイメージすることはできないでしょうか．


図形的意味
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一般式ではイメージし辛いので，つぎのように具体的な2次方程式を考えます．
<tex>
 x^2 + 11x = 33 \tag{#def(eq:imi)}
</tex>
この式の意味は「ある数を二乗したものと，ある数に11を掛けたものを足すと，33である」ということです．
そして，方程式の解を求めるとは，「ある数」が具体的にいくらなのかを決めることです．
式 (#ref(eq:imi)) をなんとか図形的に表したいのですけど，どうしよう．
そうだ，“2次”なのだから，面積に例えられないでしょうか．
四角形の面積は，一辺掛ける一辺，という2次の問題です．
特に正方形ならば，辺の長さの二乗，という問題になります．
2次方程式を，正方形の面積を求める問題 [*]_ に置き換えてみましょう．

.. [*]
  この図形的な方法は，アラビアのアル・クワリズミという数学者が考えたそうです．
  ちなみに，“アル・クワリズミ”は“アルゴリズム”の語源だとか．

正方形とその面積
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まずは式 (#ref(eq:imi)) の右辺を，正方形の面積として表現することにします．
正方形の絵を描いておきます．

.. image:: sakima-kainokoushiki-fig1.png
   :align: center

残るは式 (#ref(eq:imi)) の左辺を，正方形の辺の長さで表せれば，
2次方程式を図形的に表したことになります．しかし式 (#ref(eq:imi)) の左辺は
<tex>
 x^2 + 11x
</tex>
なので，正方形の辺の長さにする，と言ってもなんだか良くわかりません．
しかしこれが $x^2$ だったらどうでしょう．この場合，辺の長さは $x$ で良いですよね．
一辺の長さが $x$ の正方形の面積は， $x^2$ ですからね．

$x^2 + 11x$ を「何とかの二乗」に近づけるため，つぎの式変形を行います．
<tex>
 x^2 + 11x 
 = \left(x + \frac{11}{2}\right)^2 - \left(\frac{11}{2}\right)^2 \tag{#def(eq:imi2)}
</tex>
ひとまず，「何とかの二乗」に近づきました．
マイナスが付いた項が出てくるのは，両辺の値を等しくするためです．
式 (#ref(eq:imi2)) の右辺を式 (#ref(eq:imi)) の左辺に代入してみましょう．
<tex>
  \left(x + \frac{11}{2}\right)^2 - \left(\frac{11}{2}\right)^2 = 33 \tag{#def(eq:imi3)}
</tex>
となります．

仮にマイナスの項を無視して考える
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ここで一時的に，式 (#ref(eq:imi3)) においてマイナスの項を「なかったこと」にして考えてみると
<tex>
  \left(x + \frac{11}{2}\right)^2 = 33
</tex>
であり，この式は，図形的につぎの図で表せます．
一辺の長さが $x + \frac{11}{2}$ の正方形ですね．

.. image:: sakima-kainokoushiki-fig2.png
   :align: center

色分けしているのにはちゃんと意味があります．
図にもう少し情報を書き込んでみます．

.. image:: sakima-kainokoushiki-fig3.png
   :align: center

一辺の長さが $x + \frac{11}{2}$ であるという情報を元に，
このように，全体を4つの四角形に分けることができます．

- 面積 $x^2$ の正方形が1つ
- 面積 $\frac{11}{2}x$ の長方形が2つ，
- 面積 $\left(\frac{11}{2}\right)^2$ の正方形が1つ

です．図の右下の，面積 $\left(\frac{11}{2}\right)^2$ の正方形に注目してください．

マイナスの項もちゃんと考える
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マイナスの項をちゃんと考えるには，両辺に「マイナスの項と同じもの」
を足して打ち消す，という方針を取ります．つまり
<tex>
  \left(x + \frac{11}{2}\right)^2 - \left(\frac{11}{2}\right)^2 = 33
</tex>
を
<tex>
  \left(x + \frac{11}{2}\right)^2 = 33 + \left(\frac{11}{2}\right)^2 \tag{#def(eq:imi4)}
</tex>
とすれば良いのですね．いまの場合，まるっきり無視したのではなく，
左辺から引いた分を右辺に足しているので，方程式の整合性は保たれています．
しかし今度は，全体の面積に相当する右辺の値が増えてしまいました．
これは，つぎの図のように考えます．

.. image:: sakima-kainokoushiki-fig5.png
   :align: center

左側の「一部が欠けた正方形」の面積こそが，式 (#ref(eq:imi)) の右辺に相当し，
右側の「ちゃんとした正方形」が，変形した式 (#ref(eq:imi4)) の右辺に相当している，ということです．


まとめ
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平方完成とは，このように正方形を完成させて，問題解決を簡単にすることだったのです．
<tex>
 x^2 + 11x = 33
</tex>
のように $x^2$ の項と $x$ の項が別々だと難しいですが，
<tex>
  \left(x + \frac{11}{2}\right)^2 = 33 + \left(\frac{11}{2}\right)^2
</tex>
と平方完成すると $x$ は一箇所にまとまるので，問題を考えやすくなります [*]_ ．
変形の必然性，意味が少しでも納得できれば記憶も定着しやすいですし，
なるほど！ と思えれば勉強が楽しいものになりますね．


.. [*]
  正方形の面積，というイメージは思い浮かべやすいですが，
  じゃあ面積が負の場合はどうなるんだろう，という疑問にもつながります．
  そこは割り切っておきましょう．


.. _2次方程式を解く: http://www12.plala.or.jp/ksp/algebra/kainokoshiki/


@@author: 崎間@@
@@accept: 2005-11-13@@
@@category: 代数学@@
@@id:completingSquareImage@@