============================================================
波の減衰
============================================================

波は媒質中を進んでいく時に、高周波ほど早く減衰していきます。
例えば空気中を進む音は、花火など遠くで聞くほど低い音が響きますよね。
それは、次のようなモデル（運動方程式）で理解できます。

<tex>
m \ddot{x} + \zeta \dot{x} + kx = 0 \tag{##}
</tex>

第一項は慣性項、第二項はダンピング項（減衰項）、
第三項は復元力の項です。 $m,\zeta,k$ は、それぞれ質量、抵抗、復元力で、すべて正の定数です。
この式に $\dot{x}$ を掛けて $t$ で積分してみます。

<tex>
\dfrac{m}{2}\dot{x}^2 + \dfrac{k}{2}x^2 = E - \zeta \int^t \dot{x}^2 dt
</tex>

これは、左辺が運動のエネルギーに対し、右辺が抵抗で必ず負になることから、
力学的エネルギーがダンピング項によって、どんどん減衰していく様子を示して
います。  $E$ は積分定数で $t=0$ における力学的エネルギーを示します。
ここで、振動を

<tex>
x= A \sin \omega t 
</tex>

とすると、

<tex>
\dot{x}=A \omega \cos \omega t
</tex>

となります。振動の速さの微分には $\omega$ が掛かっていますね。
これは角周波数 $\omega$ が大きいほど、減衰が早いことになります。

以上、簡単ですが、波の減衰についての説明でした。
今日はここまで。

@@author:クロメル@@
@@accept:2011-04-07@@
@@category:力学@@
@@id:waveDamping@@