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調和振動子とラグランジュの運動方程式
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ラグランジュの運動方程式_ の簡単な適用例として，調和振動子の運動を考えてみます．


調和振動子
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バネに取り付けられたおもりが振動するような運動を，調和振動子といいます．
自然界にはこのような運動が多くみられるため，
物理の問題でも調和振動子が多く登場しています．
ここでラグランジュの運動方程式を考えるのは，
つぎの図のような，水平面上の調和振動子です．

.. image:: harmonicAndLagrange-1.png

図のように座標軸等を取り，おもりの質量を $m$ とします．
ニュートンの運動方程式はすぐに分かって，
<tex>
 m\frac{d^2x}{dt^2}= -kx
</tex>
となります．このあらかじめ分かっている方程式を
わざわざラグランジュの方程式から導いてみる，ということをします．


ラグランジアン
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ラグランジアンを書き出します．
解析力学のお偉いさん，ラグランジアン $L$ とは，
$T$ を運動エネルギー， $U$ をポテンシャルエネルギーとして
<tex>
 L = T-U
</tex>
なる量のことでした．ティーまいなすユーです．
いまは単純な調和振動子の運動を考えていますから，
運動エネルギー，ポテンシャルエネルギーはすぐに分かって
<tex>
 T = \frac{1}{2}m\dot{x}^2, \quad U=\frac{1}{2}kx^2
</tex>
と書けます．ここで $\dot{x}$ とは $x$ の時間微分，すなわち速度のことです．
したがってラグランジアン $L$ は
<tex>
 L = T-U = \frac{1}{2}m\dot{x}^2-\frac{1}{2}kx^2
</tex>
となります．位置 $x$ と，その時間微分 $\dot{x}$ は，
独立した変数として取り扱うことに注意しておきます．


ラグランジュの運動方程式
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さて，ラグランジアンが分かったので，
いよいよ ラグランジュの運動方程式_ を考えましょう．
ラグランジュの運動方程式は
<tex>
 \frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{x}}\right) 
 - \frac{\partial L}{\partial x} = 0 \tag{1}
</tex>
というものでしたから，さきほどのラグランジアンを
この方程式に代入して計算します．
計算すると，ニュートンの運動方程式と同じ形になるはずです．
いっぺんにやると難しそうなので，左側第1項から順々に計算してみます．

第1項を計算
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ラグランジアンを $\dot{x}$ で偏微分します．
$x$ の項は消えます．さらにそれを時間微分します．
<tex>
 \frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{x}}\right)
 &= \frac{d}{dt}\left\{ \frac{\partial}{\partial \dot{x}} \left(\frac{1}{2}m\dot{x}^2-\frac{1}{2}kx^2\right) \right\}\\
 &= \frac{d}{dt}(m\dot{x}-0)\\
 &= m\ddot{x} \tag{2}
</tex>

第2項を計算
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ラグランジアンを $x$ で偏微分します． $\dot{x}$ の項は消えます．
<tex>
 \frac{\partial L}{\partial x}
 &= \frac{\partial}{\partial x} \left(\frac{1}{2}m\dot{x}^2-\frac{1}{2}kx^2\right)\\
 &= -kx \tag{3}
</tex>

ラグランジュの運動方程式を計算
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各項が計算できたので，ラグランジュの方程式
<tex>
 \frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{x}}\right) 
 - \frac{\partial L}{\partial x} = 0 \tag{1}
</tex>
を整理します．式(1)に式(2)，(3)を代入すると
<tex>
 m\ddot{x}-(-kx) = 0
</tex>
となります．移項して
<tex>
 m\ddot{x} = -kx
</tex>
であり，さらに $\ddot{x}$ を微分の形で表すと
<tex>
 m\frac{d^2x}{dt^2} = -kx
</tex>
です．これは，最初にみたニュートンの運動方程式です．
今回は，1次元の調和振動子を例にとって
ラグランジュの運動方程式のアプローチを練習してみました．
しかしこれだけでは，計算が繁雑になっただけでなんのメリットもありません．
つぎはこれと同様のアプローチで，ニュートンの運動方程式を直接記述するのが難しい，
極座標の運動を記述してみましょう．


.. _ラグランジュの運動方程式: http://www12.plala.or.jp/ksp/analytic/equationOfLagrange/


@@author: 崎間@@
@@accept: 204-10-28@@
@@category: 解析力学@@
@@id:harmonicAndLagrange@@