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対数関数lnと指数関数expが逆関数であることの証明
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この記事では、
、 
<tex>
y= f(x)= \ln \ x = \log_e \  x
</tex> 

が [*]_ 、

.. [*] 大学では、 $e$ を底とする対数関数 $\log_e \ x$ を、 $\ln \ x $ と書きます。

<tex>
y= g(x) = e^x = \exp(x)
</tex> 

の逆関数であることを確認します。


本題
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<tex>
y &= (f \circ g)(x) \\
  &= \ln \ e^x \\
  &= x \ln \ e \\
  &= x
</tex>

は、簡単に示せます [*]_ 。

.. [*]  ここで、 $\ln\ x^y = y \ln \ x$ という性質を用いました。

でははたして、

<tex>
y &= (g \circ f)(x) \\
  &= e^{\ln \ x} \\
  &= x \tag{##} 
</tex>

は、どうしたら示せるでしょうか？ [*]_ 

.. [*] そもそも、 $y =\ln\ x$ は、 $e$ を $y$ 乗した時 $x$ になるときの $y$ という数の事だったので、
 定義から考えると当然の結果ではあります。よって、以下は計算で示したい人だけ読んでください。

それには、ちょっと工夫が要ります。
式 $(1)$ において、
<tex>
x = \exp(t) 
</tex>

と置いてやるのです。

<tex>
y &= (g \circ f)(x) \\
  &=\exp(\ln \ x) \\
  &= \exp(\ln \ e^t) \\
  &= \exp(t \ln \ e) \\
  &= \exp(t) \\
  &= x \tag{##} 
</tex>

一番最後の行で、最初に決めた関係 $e^t=x$ を用いました。

これで、めでたく
<tex>
(f \circ g)(x)=(g \circ f)(x)=x
</tex> 

が示せました。
では、そろそろ、今日はここまで。

@@author:クロメル@@
@@accept:2010-05-17@@
@@category:物理数学@@
@@id:lnAndExp@@