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続・ベクトルの回転
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これは、Joh氏の ベクトルの回転_ の記事の続編です。
次の記事は、 続々ベクトルの回転_ です。
行列の回転を三次正方行列で表すと，意外ときれいな形でまとまったので書いてみました.

ベクトルの回転の行列表現
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これから ベクトルの回転_ で出た式を行列で表します．ではさっそく元の式を見てみましょう．

<tex>
\bm{r}^\prime = (\bm{n} \cdot \bm{r}) \bm{n} + [\bm{r}-(\bm{n} \cdot \bm{r})\bm{n}]\cos \phi +(\bm{n} \times \bm{r})\sin \phi \tag{1}
</tex>

ここで $ \bm{r}^\prime = \begin{pmatrix} r_1^\prime \\ r_2^\prime \\ r_3^\prime \end{pmatrix} $ と
, $ \bm{r} = \begin{pmatrix} r_1 \\ r_2 \\ r_3 \end{pmatrix} $ として
, $ \bm{n} = \begin{pmatrix} l \\ m \\ n \end{pmatrix} $ とすると,
<tex>
\begin{pmatrix} r_1^\prime \\ r_2^\prime \\ r_3^\prime \end{pmatrix}
=\left[ \bm{n} \bm{n} + \cos \phi (I-\bm{n}\bm{n}) + \sin \phi 
\begin{pmatrix}
0 & -n & m \\
n & 0 & -l \\
-m & l & 0 
\end{pmatrix}
 \right]
\begin{pmatrix} 
r_1 \\ 
r_2 \\ 
r_3 
\end{pmatrix}
</tex>



ここで， $I$ は三次正方単位行列，
また $\bm{n}\bm{n}$ は $ \bm{n}\bm{n} = \begin{pmatrix} ll & ml & nl \\ lm & mm & nm \\ ln & mn & nn \end{pmatrix}$ となっていて
これをテンソルと考えた時，ダイアド積（別名として「テンソル積」単に「ダイアド」とも）と呼びます．


ダイアド積は，ドットでもクロスでもなくただベクトルを並べるだけで表し，二階のテンソルの表現の一種です
． $\bm{a}= \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix}$ と 
$\bm{b}= \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{pmatrix}$ に対し，ダイアド積 $A$ は， 
<tex>
A
=\bm{a}\bm{b}
=\{ a_i b_j \}
=\begin{pmatrix}
a_1 b_1 & a_1 b_2 & a_1 b_3 \\
a_2 b_1 & a_2 b_2 & a_2 b_3 \\
a_3 b_1 & a_3 b_2 & a_3 b_3 
\end{pmatrix}
</tex>
となります．

そして少ししつこいかもしれませんが，
<tex>
A = \bm{a} \otimes \bm{b} = \sum_{i=1,2,3 \ \ j=1,2,3}a_i b_j \bm{e}_i \otimes \bm{e}_j
</tex>
とも書きます．

ところで， $N= \begin{pmatrix} 0 & -n & m \\n & 0 & -l \\-m & l & 0 \end{pmatrix}$ と置くと， 
$N^2= \begin{pmatrix} -m^2-n^2 & ml & nl \\ lm & -n^2-l^2 & nm \\ ln & mn & -l^2-m^2 \end{pmatrix}$ より，
なんと 

<tex>
\bm{n}\bm{n}= N^2 + (l^2+m^2+n^2)I = N^2 + I
</tex>

となります．よって，最終的に次の形になります．
<tex>
\bm{r}^\prime = [I + N^2 + (-\cos \phi N^2+\sin \phi N)]\bm{r}
</tex>
ここで， $I\bm{r}$ は回転前のベクトル．他は， $N^2\bm{r}= \overrightarrow{PN}$ であり
， $ (-\cos \phi N^2+\sin \phi N)\bm{r} = \overrightarrow{NQ} $ です．

その他の嬉しいこと
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余談ですが結構物理では外積 $\bm{n} \times $ の行列表現 $N$ は
もちろん $\bm{n} \times(\bm{n} \times)$ の行列表現 $N^2$ の形をしたものを目にすることが多いと思います．
例えば遠心力は $-m \bm{\omega} \times(\bm{\omega} \times \bm{r}) $ という形をしていますし，
慣性テンソル $ I $ を求める時、角運動量 $ L $ 、角速度ベクトル $ \bm{\omega} $ として、
<tex>
\bm{L}
= \sum_i m_i \bm{r}_i \times (\bm{\omega} \times \bm{r}_i) 
=- \sum_i m_i \bm{r}_i \times (\bm{r}_i \times \bm{\omega}) 
</tex> 
に対して、
<tex>
\bm{L}
= I \bm{\omega} 
</tex>
が $I$ の定義ですから、
<tex>
\begin{pmatrix}
L_x \\
L_y \\
L_z
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
\sum_i m_i (y_i^2+z_i^2) & -\sum_i m_i x_i y_i & -\sum_i m_i x_i z_i \\
-\sum_i m_i y_i x_i & \sum_i m_i (z_i^2+x_i^2) & -\sum_i m_i y_i z_i \\
-\sum_i m_i z_i x_i & -\sum_i m_i z_i y_i & \sum_i m_i (x_i^2+y_i^2)
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\omega_x \\
\omega_y \\
\omega_z
\end{pmatrix}
</tex> 

これを知っていると戸惑うことはなくなると思います．

電磁気学でも
<tex>
\nabla \times (\nabla \times \bm{A})
&=
\begin{pmatrix}
0 & -\frac{\partial}{\partial z } & \frac{\partial}{\partial y } \\
\frac{\partial}{\partial z } & 0 & -\frac{\partial}{\partial x} \\
-\frac{\partial}{\partial y } & \frac{\partial}{\partial x } & 0
\end{pmatrix}^2 \bm{A} \\
&=
\left(
\begin{pmatrix}
\frac{\partial^2}{\partial x^2 } & \frac{\partial^2}{\partial y \partial x } & \frac{\partial^2}{\partial z \partial x } \\
\frac{\partial^2}{\partial x \partial y } & \frac{\partial^2}{\partial y^2 } & \frac{\partial^2}{\partial z \partial y } \\
\frac{\partial^2}{\partial x \partial z } & \frac{\partial^2}{\partial y \partial z } & \frac{\partial^2}{\partial z^2} 
\end{pmatrix}
-\begin{pmatrix}  
\frac{\partial^2}{\partial x^2}+\frac{\partial^2}{\partial y^2}+\frac{\partial^2}{\partial z^2}  & 0 & 0 \\
0 & \frac{\partial^2}{\partial x^2}+\frac{\partial^2}{\partial y^2}+\frac{\partial^2}{\partial z^2}  & 0 \\
0 & 0 & \frac{\partial^2}{\partial x^2}+\frac{\partial^2}{\partial y^2}+\frac{\partial^2}{\partial z^2}  
\end{pmatrix}
\right)\bm{A} \\
&=
\begin{pmatrix}
\frac{\partial^2}{\partial x^2 } & \frac{\partial^2}{\partial x \partial y } & \frac{\partial^2}{\partial x \partial z } \\
\frac{\partial^2}{\partial y \partial x } & \frac{\partial^2}{\partial y^2 } & \frac{\partial^2}{\partial y \partial z } \\
\frac{\partial^2}{\partial z \partial x } & \frac{\partial^2}{\partial z \partial y } & \frac{\partial^2}{\partial z^2} 
\end{pmatrix}\bm{A}
-\triangle \bm{A} \\
&=
\begin{pmatrix}
\frac{\partial}{\partial x} \\
\frac{\partial}{\partial y} \\
\frac{\partial}{\partial z} 
\end{pmatrix}
(\frac{d A_x}{dx}+\frac{d A_y}{dy}+\frac{d A_z}{dz})
-\triangle \bm{A} \\
&=grad(div\bm{A})-\triangle \bm{A}
</tex>
という公式が少し考えるだけで書けるようになります。

追記：最後の電磁気学の例は、偏微分が交換できる時に限るようです。

.. _ベクトルの回転: http://hooktail.sub.jp/vectoranalysis/vectorRot/
.. _続々ベクトルの回転: http://hooktail.sub.jp/vectoranalysis/vectorRot3/

@@author:クロメル@@
@@accept:2007-03-24@@
@@category:ベクトル解析@@
@@id:vectorRot2@@