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尖端放電（改）
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どうも、間違いを修正してみました。これなら、つじつまが合いそうです。

電荷が作る電場は、尖ったものの先端において、大きくなり
電子を放出しやすくなります。どんな電界が生じるのかを
書くことにします。

簡単のため、下図の様な二次元極座標 $(r,\theta)$ で考えます。
クサビ型の金属で奥行きを $z$ 方向としてもらって構いません。
金属表面は等電位面であります。しかし、表面電荷はそんざいします。

.. image :: chromel-sentan-01-t.png

真空におけるラプラス方程式は、

<tex>
\vartriangle V(r,\theta) = \left( \frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}( r \frac{\partial}{\partial r})+\frac{1}{r^2}\frac{\partial^2}{\partial \theta^2} \right) V(r,\theta) = 0 \tag{##}
</tex>

ここで、変数分離法を用い、 $r$ 方向と $\theta$ 方向の常微分方程式に還元してやります。
つまり、 $V(r,\theta)=R(r)\Theta(\theta)$ と仮定して、式 $(1)$ に代入するのです。
すると、

<tex>
r \frac{\partial}{\partial r}(r \frac{\partial R}{\partial r}) \times \Theta + \frac{\partial^2 \Theta}{\partial \theta^2} \times R=0 \tag{##}
</tex>

両辺 $R\Theta$ で割って、移項すれば、

<tex>
r \frac{\partial}{\partial r}(r \frac{\partial R}{\partial r})/R = - \frac{\partial^2 \Theta}{\partial \theta^2}/\Theta \tag{##}
</tex>

これは、左辺が $r$ のみの関数、右辺が $\theta$ のみの関数なので、 $r$ の式ではなく、 $\theta$ の式でもなく、
これは実定数 $(k>0)$ の二乗 $k^2$  [*]_ に等しいことが分かります。

.. [*]  $k^2$ が負だと $r$ 方向の方程式が、虚数の解をもつことになるので、物理的に意味のない方程式になります。

よって、この式は、

<tex>
\frac{\partial^2 \Theta}{\partial \theta^2} = - k^2 \Theta \tag{##}
</tex>

<tex>
r \frac{\partial}{\partial r}(r \frac{\partial R}{\partial r})= r \frac{\partial}{\partial r}+r^2 \frac{\partial^2}{\partial r^2} = k^2 R \tag{##}
</tex>

式 $(4)$ は、単振動でお馴染みの式ですね。これをとくと、

<tex>
\Theta = A \sin (k \theta + \phi) \tag{##}
</tex>

境界条件 $\theta=0 , 2\pi-\alpha $ の時、 $k \times 0 + \phi= 0 $ , $k(2\pi-\alpha)+ \phi = \pi $ 
とします。つまり、 $\phi=0$ , $ k=\dfrac{\pi}{2\pi-\alpha} $ となります。

これで、 $\theta$ 方向は解けました。次は動径方向です。 $R=r^d$ と仮定すると、式 $(5)$ より、

<tex>
r \times d r^{d-1}+r^2 \times d(d-1) r^{d-2} &= d^2 r^{d} \\
&= k^2 r^d   \tag{##}
</tex>

よって、 $d^2=k^2$ が得られます。正負の符号の内、
信じられないかもしれませんが、無限遠で発散する $d=k>0$ が求める解であります。
これは、原点近傍のみで有効であります。
この正の解を取る理由としては、例えば、 $\alpha=\pi$ の時を考えてください。
xy平面の下半分が金属という状態です。この時、 $k=\dfrac{\pi}{2 \pi - \pi }=1$ となり、
本来、平面状の一様な面電荷が作る電場は、面に垂直で距離を変えても一定の大きさとなりますよね。
つまり、例えばポテンシャルとしては、 $V(x,y,z)=Ay$ のような形をしています。
よって、ここで $V(r, \theta ) = A r \sin \theta = Ay $ となります。
これは、 $d=k=1>0$ とすれば、見事に、

<tex>
V(r, \theta ) &= R(r) \Theta ( \theta ) \\
&=A r \sin k \theta \\
&=A r \sin \theta  \\
&=A y
</tex>

となる訳です。ここで、 $\alpha=\pi$ だった、
クサビの尖り具合をしめす $\alpha$ は、連続的変化で $\alpha \to 0$ となれますから、
結局、 $\alpha \to 0$ とした時、

<tex>
V(r,\theta) &= A r^{ \pi/2\pi - \alpha } \sin \dfrac{\pi \theta}{2\pi-\alpha} \\
&\to A r^{1/2} \sin \dfrac{\theta}{2} 
</tex>

となり、原点近傍において $ \theta= \pi $ の方向に、 $ r^{-1/2} $ の大きさの、電場の発散が起きることが分かります。
これが、尖ったものが静電気を放電しやすい原理です。

それでは、今日はここまで。

@@reference: J.D.ジャクソン著、西田稔訳, 電磁気学（上）, 吉岡書店, 2002, p107-p112, 4842700009@@

@@author:クロメル@@
@@accept:2010-11-21@@
@@category:電磁気学@@
@@id:sentan@@