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整域・整数の剰余類の環
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整数の全体が環になることは 環_ の例で見ました。整数の環を *整数環* と呼ぶのでした。整数環の勉強には、素因数分解、合同など、整数ならではの知識がどうしても必要になってきます。


この記事の最後に整数の剰余類の環について勉強しますが、そこで、二つの整数 $a,b$ とその最大公約数 $d$ に対し、次の関係式を満たす整数 $x,y$ が必ず一組存在することを使います。

<tex>
d=ax+by		\tag{1}
</tex>

このような $x,y$ を探す問題はディオファントス方程式と呼ばれ、必ず解が一意的に決まることが知られていますが、ここでは解の存在証明は省略します(ゴメンナサイ (>_<))。


二つの整数 $a,b$ の最大公約数 $d$ は、 $d=(a,b)$ という記号で書くことにします。 $(a,b)=1$ となるとき *aとbは互いに素である* といい、自分より小さな全ての整数と互いに素になる整数を *素数* と呼びます。




整域
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整数環に関係深い概念に *整域* があります。整域の定義は、『可換環で、単位元を持ち、零元以外に零因子を持たない環』です。


整域の例として重要なのは、 *整数環* と *多項式環* です。


整数環
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整数環とは、普通の整数全体のことです。さきほど見たように、普通の意味で整数の足し算・掛け算を考えることで整数全体は環となります。整数の掛け算は可換です。しかも単位元 $1$ を持ち、零因子はありません。

ですから、整数環は整域になるわけです。

.. [*] 整域という名前から分かるように、そもそも整域とは、整数の性質を念頭に置いて考え出された概念です。



多項式環
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実数係数の多項式全体は、通常の加法と乗法に関して可換環になります。(これを $R$ 上の多項式環と呼び、以後 $R[x]$ と書きます。 $R$ は、実数体の意味です。)


次の二つの多項式に対し、加法と乗法がなりたつことを確認してみてください。

<tex>
f_{1}(x)=a_{0}x^{m}+a_{1}x^{m-1}+...+a_{m-1}x+a_{m}
</tex>

<tex>
f_{2}(x)=b_{0}x^{n}+a_{1}x^{n-1}+...+a_{n-1}x+a_{n}
</tex>

多項式環の単位元は $1$ です。また $0$ 以外に零因子はありません。(もし多項式環に零因子があるならば、 $(x-a)(x-b)=0$ という形に因数分解して方程式を解くことが出来なくなります)。

多項式環は整域になります。



体
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体では乗法の逆演算として除法が定義されていますので、乗法の零元以外には零因子を持ちません。また、体は単位元を持ち、体の乗法は可換と定義されていました。そこで、 **体も整域だ** と考えることができます。



整数の剰余類
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整数環 $Z$ は加法に関しては群になります。この加法群 $Z$ の整数 $m$ による剰余群を考えます( $[k]$ は $k$ の倍数を含む剰余類という意味です)。

<tex>
Z/[m]= \{[0],[1],...,[m-1]\} 
</tex>


整数 $k$ は $[0],[1],...,[m-1]$ のうちのどれかに属するはずですが、いま仮に $k$ を含む剰余類を $\overline{k}$ と書くことにすると、すでに 体_ の例６で見たように、剰余類の間に加法と乗法を定義できます。

<tex>
\overline{k} + \overline{l} = \overline{k+l}
</tex>

<tex>
\bar{k} \bar{l} = \overline{kl}
</tex>

ここで $m$ を素数ではないとすると、 $m$ は $m=m_{1}m_{2}$ のように素因数分解できるはずです。このとき $\overline{m_{1}}\ne \overline{0}, \overline{m_{2}}\ne \overline{0}$ ですが、 $\bar{m_{1}}\bar{m_{2}}=\overline{m_{1}m_{2}} = \overline{0}$ がなりたちますので $\overline{m_{1}}, \overline{m_{2}}$ はそれぞれ互いに零因子であり、 $Z/[m]$ は整域ではなくなります。

逆に、 $m$ が素数のとき、 $\overline{0}$ 以外の剰余類に属する元 $a$ に対して常に $(m,a)=1$ がなりたちます。そこで式 $(1)$ より $1=mx+ay$ を満たす整数 $x,y$ が存在しているはずで、剰余を考えると次式が示されます。

<tex>
\overline{1}&=\overline{mx+ay} \\ 
&=\overline{mx} +\overline{ay} \\
&=\overline{ay}  \  \  (\because \ \overline{mx} = \overline{0}) \\ 
&=\bar{a} \bar{y}
</tex>

なんとこれは、式中の $\overline{y}$ が $\overline{a}$ の逆元になっているという主張です。 $a$ は $\overline{0}$ 以外の剰余類に属する任意の元でしたので、結局、 $m$ が素数の場合は乗法に逆元も存在することになり、 $Z/[m]$ は体になります。(もちろん $Z/[m]$ は整域にもなります。)


.. important:: 

	整数の剰余類の環 $Z/[m]$ は、 $m$ が素数でない場合には零因子が存在し、整域にはならない。(単なる環)。 $m$ が素数の場合は、整域になり、乗法に逆元が入るので体になる。


整数の剰余環は、法とする整数が素数かどうかで、かなり構造が違ってくるんですね。

.. _体: http://www12.plala.or.jp/ksp/algebra/FieldDef/
.. _環: http://www12.plala.or.jp/ksp/algebra/RingDef/


@@author: Joh@@
@@accept: 2006-05-27@@
@@category: 代数学@@
@@id: IntegralDomain@@