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新たな積分の形式
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小ネタです。あらたな積分の形式を考えてみました。
でも残念なことに、応用には向かなさそうです。

復習（高校でならう積分）
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高校でならう積分の復習をしてみます。
リーマン積分ってやつですね。
ちょっとおおざっぱですが、お許しください。

関数f(x)のaからbまでの定積分を定義するには、
まず区間 $[a,b]$ をn等分してできる、n+1個の分割点に 
$x_i\ \  (i=0,1,\cdots,n)$ と名前をつけます。 [*]_ 
そして、その間隔を $\Delta x = x_{i+1} - x_i = \frac{b-a}{n}$ とします。

.. [*] 具体的な書くと $x_i = a + \frac{(b-a)i}{n}$ です。

そこで、定積分を以下のように定義するのでした。

<tex>
\int_0^x f(x) dx &\equiv \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^n f(x_i) \Delta x \\
&= (b-a) \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^n f(x_i) \frac{1}{n} 
</tex>

ここで、 $b-a$ を前に出したのは、今後の布石です。
最後の行をよく見てみると、（b-a）×（ｎ個の点でのf(x)の値の平均）になっていますよね。
つまり、すべての点の平均値に区間の長さをかければ、曲線の下の面積になるわけです。

新たな積分
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ここで、今回のメインコンテンツは、
さっき出てきた平均を、相加平均じゃなくて相乗平均にしてしまおうというのが、
基本のアイディアです。では、さっそく変えてみましょう。

簡単のため、区間 $[a,b]$ ではなく、区間 $[0,1]$ にしておきます。
汎関数の一種なので、 $\pi(f)|_0^1$ とでも、表現しましょうか。

<tex>
\pi(f)|_0^1 &\equiv \lim_{n \to \infty} \left( \prod_{i=1}^n f(x_i) \right)^{1/n} \\
&= \lim_{n \to \infty} e^{\log \left( \prod_{i=1}^n f(x_i) \right)^{1/n}} \\
&= \lim_{n \to \infty} e^{\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \log  f(x_i) } \\
&= \lim_{n \to \infty} e^{\Delta x \sum_{i=1}^n \log  f(x_i)} \\
&= e^{\int_0^1 \log  f(x) dx}
</tex>

なんだ、結局既存の計算手法で表現できるものでしたね。
拡張するには、出てきた定積分の区間を $[a,b]$ とするのが、自然だと思います。
以下に、一般の形を書きます。

新たな積分のまとめ
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関数 $f(x)$ の区間 $[a,b]$ での新たな定積分は、

<tex>
\pi(f)|_a^b \equiv e^{\int_a^b \log  f(x) dx}
</tex>

となります。
 
$f(x)$ がゼロになる区間を含んでいると、すべて１になってしまうので、
いまいち使い勝手が悪いなぁというのが正直な感想です。

新たな積分の応用
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元にあるのは、相乗平均ですから、連続変数であって、
大域的には指数関数的変動をする変数の単位時間当たりの
変動倍率をもとめる時なんかに使えるかなぁ？

それは、

<tex>
\frac{\pi(f)|_a^b}{e^{b-a}} =  e^{\frac{\int_a^b \log  f(x) dx}{\int_a^b dx}}
</tex>

で求められます。

積分の他の拡張
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平均を調和平均にした場合、詳しくは書きませんが同様に、

<tex>
\eta(f)_0^1 &\equiv \lim_{n \to \infty} n \times \left( \sum_{i=1}^n \frac{1}{f(x_i)} \right)^{-1} \\
&= \lim_{n \to \infty} \left( \sum_{i=1}^n \frac{1}{f(x_i)n} \right)^{-1} \\
&= \lim_{n \to \infty} \left( \sum_{i=1}^n \frac{\Delta x}{f(x_i)} \right)^{-1} \\
&= \left( \int_0^1 \frac{1}{f(x)} dx \right)^{-1}
</tex>

同様に区間を一般化して、

<tex>
\eta(f)_a^b \equiv \left( \int_a^b \frac{1}{f(x)} dx \right)^{-1}
</tex>

となります。

これは、例えば無限に細い単位長さあたりの抵抗の異なる抵抗を束ねた時、
全体の抵抗はどうなるか計算できます。

最後に幾何平均と調和平均が定義できるためには、区間[a,b]に於いて、f(x)>0が必要であることを付け加えておきます。

それでは、今日はこの辺で。
ごきげんよう(^o^)/~

@@author:クロメル@@
@@accept:2010-04-21@@
@@category:物理数学@@
@@id:newIntegral@@