============================================================
状態数Ωと分配関数Ｚの関係
============================================================

この記事ではミクロカノニカル集合で扱われる状態数Ωと、
カノニカル集合で扱われる分配関数の関係を求めます。
その方法は、エントロピーＳを両方で求めて、
イコールと置くだけです。

ミクロカノニカル集合(ΩとＳ)
===============================

これは有名なボルツマンの式です。

えいっ！

<tex>
S = k_B \log \Omega \tag{##}
</tex>

カノニカル集合(ＺとＳ)
===============================

これは少し考えないといけません。$\beta = \dfrac{1}{k_B T}$ 、 $ Z = \sum_i e^{- \beta E_i} $ として、

<tex>
\langle E \rangle &= \dfrac{\sum_i E_i e^{- \beta E_i}}{\sum_i e^{- \beta E_i}} \\
&= - \dfrac{\partial}{\partial \beta} \log Z \tag{##}
</tex>

であり、

<tex>
F = - \dfrac{1}{\beta} \log Z \tag{##}
</tex>

でした。よって、

<tex>
S = \dfrac{\langle E \rangle - F}{T} \tag{##}
</tex>

を利用すればよく、

<tex>
S &= k_B\dfrac{\langle E \rangle - F}{k_B T} \\
&= k_B \beta ( - \dfrac{\partial}{\partial \beta} + \dfrac{1}{\beta}) \log Z \\
&= k_B( 1 -\beta \dfrac{\partial}{\partial \beta}) \log Z \\
&= - k_B \beta^2 \dfrac{\partial}{\partial \beta} \left( \dfrac{1}{\beta} \log Z \right) \tag{##}
</tex>

となります。ここで、 

<tex>
\dfrac{\partial}{\partial \beta} &= \dfrac{\partial T}{\partial \beta} \dfrac{\partial}{\partial T} \\
&= -\dfrac{1}{k_B \beta^2} \dfrac{\partial}{\partial T} \tag{##}
</tex>

を利用すれば、

<tex>
S &= k_B \beta^2 \dfrac{1}{k_B \beta^2} \dfrac{\partial}{\partial T} \left( \dfrac{1}{\beta} \log Z \right) \\
&= - \dfrac{\partial}{\partial T} \left( - \dfrac{1}{\beta} \log Z \right) \\
&= -\dfrac{\partial}{\partial T} F \tag{##}
</tex>

なんだ、これは $dF = -SdT- pdV$ から求まる結果と一致しますね。つまり、

<tex>
S = - \left( \dfrac{\partial F}{\partial T} \right)_V \tag{##}
</tex>

です。

まとめ
===========================

これで、両手法でエントロピー $S$ が求まりました。イコールで結びましょう！！

<tex>
S = k_B \log \Omega = \dfrac{\partial}{\partial T} \left( k_B T \log Z \right) \tag{##}
</tex>

これが、求めたかった $Z$ と $\Omega$ の関係です。
込み入った計算の結果の割には美しいと思います。
それでは、今回はこの辺で、お疲れ様でした。

追記：この後勉強していたら、この話題にぶつかりました。実は、式 $(9)$ の右辺
では、 $k_B T \dfrac{\partial \log Z}{\partial T}$ は無視
して、 $S = k_B \log \Omega = k_B \log Z$ としてしまってよいようです。
参考文献として、Kerson Huang著 "Statistical Mechanics" Second Edition,WILEYのp134を挙げておきます。


@@author:クロメル@@
@@accept:2013-12-22@@
@@category:統計力学@@
@@id:distFuncAndStaNum@@