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商群
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正規部分群と群から、剰余類を集めた集合が群になります。これを商群と呼びます。とても大事な群です。


正規部分群の演算
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群 $G$ と、その正規部分群 $H$ を考えます。 $H$ の、 $G$ における剰余類を全て集めた集合 $M$ (つまり $M$ の元のひとつひとつは $G$ の剰余類)において、二つの剰余類の間に、次のような二項演算を定義します。

<tex>
(aH)(bH)  \  \rightarrow  \  abH		\tag{1}
</tex>


この演算が確かに一意的だという証明に、 $H$ が正規部分群だという点が効いてきます。 $aH$ に属する任意の元 $ah_{1}$ と、 $bH$ に属する任意の元 $bh_{2}$ の間には、次の演算が成り立つことが示せるでしょう。途中で、積の順番を自由に入れ替えているのは、 $H$ が正規部分群だからです。

<tex>
ah_{1}bh_{2}&=ah_{1}b(aa^{-1})h_{2} \\ 
&=ah_{1}a^{-1}abh_{2} \\
&=(ah_{1}a^{-1})h_{2}ab  
</tex>

ここで、定義より $ah_{1}a^{-1} \in H$ ですから、これに $h_{2}$ を掛けた $ah_{1}a^{-1}h_{2}$ も $H$ の元です( $H$ は部分群なので、演算について閉じているはずだからです)。従って、全体で $(ah_{1}a^{-1})h_{2}ab$ は $abH$ に属していると言えます。確かに、 $(1)$ 式の二項演算が定義されることが分かりました。



まとめ
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正規部分群 $H$ には、次の演算規則が導入できます。可換だという点が重要です。

1.  $aHbH=abH$ 
2.  $aHa^{-1}H=H$ 
3.  $(aHbH)cH=abHcH=abcH$ 



商群
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群 $G$ の一つの正規部分群を $H$ とします。このとき、 $G$ の $H$ に対する商集合(つまり、 $H$ による剰余類全体の作る集合。商集合については、 完全代表系と商集合_ を復習して下さい。)を *商群* 、もしくは *因子群* 、 *剰余群* などと呼びます。記号は商集合と同じで $G/H$ のように書きます。


<tex>
G/H = \{H,a_{1}H,a_{2}H,... \} 
</tex>


一般の商集合は群にはなりませんが、 $H$ が正規部分群ならば $G/H$ が群になるという点が大事です。前節で示したのは、 $G/H$ の元同士の演算が閉じている、ということだったのです。単位元( $H$ )や、逆元( $aH$ に対して $a^{-1}H$ )もありますから、確かに $G/H$ は群です。


.. [*] 商群の単位元は $H$ だという点に注意してください。

.. [*] 商群の各元は $aH$ のような形をしています。 準同型写像_ を勉強すると『群から群の写像 $f:G \ \longmapsto \ G/H$ で、元が $f:a \ \longmapsto \ aH$ のように移される』というような表現がたくさん出てきます。元の形には $/$ は関係ありません。混乱しないためにも、ここできっちり商群に慣れておきましょう。



位数の関係
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有限群 $G$ の商群 $G/H$ は、 $G$ の剰余類の集合です。 $G$ の元の個数より剰余類の種類が多いことは無いので、位数について明らかに次の関係が成り立ちます。

<tex>
|G/H| \leq |G|	\tag{1}
</tex>

さらに、 ラグランジェの定理_ より次の関係も言えるでしょう。

<tex>
|G|=|H||G:H|=|H||G/H|	\tag{2}
</tex>

商群の位数は、常に群の位数の約数になっているということです。商群という名前は、式 $(2)$ があたかも割り算のように見えることから来ているのでしょう。




整数の加群 $Z$ の商群
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練習問題として整数の加群 $Z$ を考えてみます。 $Z$ に対し、ある整数 $n$ を選びます。 $nZ$ は、 $n$ 倍数全体を表わす群で、 $Z$ の部分群になります。

<tex>
nZ=\{ ...,-2n,-n,0,n,2n,...\} \subset Z 
</tex>

いま、 $Z$ は $n$ の剰余で類別できます。剰余類は $[m]$ のように表わします。例えば $[3]$ とあるのは『 $n$ で割ったときに余りが３になる数の集合』という意味です。

<tex>
Z=[0]+[1]+[2]+...+[n-1]
</tex>

商群は、この剰余類を元とする集合 $\{[0],[1],...,[n-1]  \}$ ですから、商群の元の間になりたつ演算を考えるには、これら剰余類同士の合成(この場合は加法)を考えれば良いことになります。

例えば、 $5$ の剰余類を考えているとき、 $[2]=\{...,-8,-3,2,7,12,... \}$ と $[4]=\{...,-6,-1,4,9,14,... \}$ を足すと、 $[2]+[4]=\{...,-14,-9,-4,1,6,11,16,21,... \}=[1]$ となります。一般に、剰余類同士の加法には、次の関係がなりたつことが言えそうです。

<tex>
[k] + [l] = [k+l] \ {\rm mod.} n
</tex>

この演算規則は、 $n$ 次の巡回群に成り立つものと全く同じものです( 有限巡回群_ 参照)。よって、 *Zの商群はn次の有限巡回群に同型である* と言えるのです。




.. _完全代表系と商集合: http://www12.plala.or.jp/ksp/algebra/FactorSet/
.. _有限巡回群: http://www12.plala.or.jp/ksp/algebra/FiniteCyclicGroup/
.. _準同型写像: http://www12.plala.or.jp/ksp/algebra/Homomorphic/
.. _ラグランジェの定理: http://www12.plala.or.jp/ksp/algebra/LagrangeanTheorem/



@@author:Joh@@
@@accept: 2006-04-23@@
@@category: 代数学@@
@@id: QuotientGroup@@