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斜交座標での２次元フーリエ変換
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二次元フーリエ変換ってありますよね。僕が今まで見たことあるものは、
全て２つの変数が直交したものでした。そこで、今回２つの変数が斜交座標を
なしている時のフーリエ変換を考えます。 

この記事の結論から書くと、

<tex>
\mathcal{F}(f(x,y)) &= \int_{-\infty}^\infty dy \int_{-\infty}^\infty dx f(x,y) \exp \left( -i \omega_1 x \right) \exp \left( -i \omega_2  y\right) \\
&= \hat{f}(\omega_1,\omega_2) \tag{##}
</tex>


<tex>
\mathcal{F}^{-1}(\hat{f}(\omega_1,\omega_2)) &= \dfrac{1}{(2 \pi)^2} \int_{-\infty}^\infty d \omega_2 \int_{-\infty}^\infty d \omega_1 \hat{f}(\omega_1,\omega_2) \exp \left( i \omega_1 x^\prime \right) \exp \left( i \omega_2  y^\prime \right) \\
&= f(x^\prime,y^\prime) \tag{##}
</tex>

に対して、次の $\mathcal{G}$ で斜交座標系でのフーリエ変換を定義すると、

<tex>
\mathcal{G}(f(x,y))
&= \int_{-\infty}^\infty dy \int_{-\infty}^\infty dx f(x,y) \exp \left( -i(ax+by)\omega_1 \right) \exp \left( -i(cx+dy)\omega_2 \right) \\
&= \int_{-\infty}^\infty dy \int_{-\infty}^\infty dx f(x,y) \exp \left( -i(a \omega_1 + c \omega_2)x \right) \exp \left( -i(b \omega_1 + d \omega_2)y \right) \\
&= \hat{f}(a \omega_1 + c \omega_2 , b \omega_1 + d \omega_2) \tag{##}
</tex>

と、普通の二次元フーリエ変換の波数 $\omega_1,\omega_2$ がそれぞれ $a \omega_1 + c \omega_2 , b \omega_1 + d \omega_2$ で置き換えられたものとなり、更に逆変換は次のようになります。

<tex>
\mathcal{G}^{-1}(\hat{f}) 
&= \dfrac{1}{(2 \pi)^2} \int_{-\infty}^\infty d \omega_2 \int_{-\infty}^\infty d \omega_1 \hat{f}(a \omega_1 + c \omega_2 , b \omega_1 + d \omega_2) \exp \left( i(ax^\prime +by^\prime )\omega_1 \right) \exp \left(i(cx^\prime +dy^\prime )\omega_2 \right) \\
&= \dfrac{1}{ad-bc} f(x^\prime,y^\prime) \tag{##}
</tex>

が成立します。

証明
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<tex>
\mathcal{G}^{-1} \left( \mathcal{G}(f) \right) 
&= \dfrac{1}{(2 \pi)^2} \int_{-\infty}^\infty d \omega_2 \int_{-\infty}^\infty d \omega_1 \int_{-\infty}^\infty dy \int_{-\infty}^\infty dx f(x,y) \exp \left( -i(ax+by)\omega_1 \right) \exp \left( -i(cx+dy)\omega_2 \right) \exp \left( i(ax^\prime +by^\prime )\omega_1 \right) \exp \left(i(cx^\prime +dy^\prime )\omega_2 \right) \\
&= \dfrac{1}{(2 \pi)^2} \int_{-\infty}^\infty d \omega_2 \int_{-\infty}^\infty d \omega_1 \int_{-\infty}^\infty dy \int_{-\infty}^\infty dx f(x,y) \exp \left( i \left( (ax^\prime +by^\prime ) - (ax+by) \right) \omega_1 \right) \exp \left( i \left( (cx^\prime +d^\prime ) - (cx+dy) \right) \omega_2 \right) \\
&= \dfrac{1}{(2 \pi)^2}   \int_{-\infty}^\infty dy \int_{-\infty}^\infty dx f(x,y) \int_{-\infty}^\infty d \omega_1 \exp \left( i \left( (ax^\prime +by^\prime ) - (ax+by) \right) \omega_1 \right) \int_{-\infty}^\infty d \omega_2 \exp \left( i \left( (cx^\prime +d^\prime ) - (cx+dy) \right) \omega_2 \right) \\
&= \dfrac{1}{(2 \pi)^2}   \int_{-\infty}^\infty dy \int_{-\infty}^\infty dx f(x,y) 2 \pi \delta((ax^\prime +by^\prime ) - (ax+by))2 \pi \delta((cx^\prime +dy^\prime ) - (cx+dy)) \\
&= \int_{-\infty}^\infty dy \int_{-\infty}^\infty dx f(x,y) \delta((ax+by)-(ax^\prime +by^\prime )) \delta((cx+dy)-(cx^\prime +dy^\prime )) \tag{##}
</tex>

ここで、

<tex>
\int_{-\infty}^\infty d \omega \exp \left( i a (x^\prime - x) \omega \right) &= 2 \pi \delta \left( a (x^\prime - x) \right) \tag{##} \\
\delta(x) &= \delta(-x) \tag{##}
</tex>

を用いました。さて、ここで

<tex>
\begin{cases}
s &= ax + by \\
t &= cx + dy
\end{cases} \tag{##}
</tex>

と置きます。すると、

<tex>
dsdt &= 
\begin{vmatrix} 
\dfrac{\partial s}{\partial x} & \dfrac{\partial s}{\partial y} \\
\dfrac{\partial t}{\partial x} & \dfrac{\partial t}{\partial y} 
\end{vmatrix} dxdy \\
&= (ad-bc)dxdy \tag{##}
</tex>

です。つまり、

<tex>
dxdy &= \dfrac{1}{ad-bc} dsdt \tag{##}
</tex>

を使って、

<tex>
&\int_{- \infty}^\infty dx \int_{- \infty}^\infty dy  \delta((ax+by)-(ax^\prime +by^\prime )) \delta((cx+dy)-(cx^\prime +dy^\prime )) \\
&= \int_{- \infty}^\infty  \int_{- \infty}^\infty   \delta (s-s^\prime ) \delta (t-t^\prime ) dx dy \\
&= \dfrac{1}{ad-bc} \iint \delta (s-s^\prime ) \delta (t-t^\prime ) ds dt \\
&= \dfrac{1}{ad-bc} \tag{##}
</tex>

ですから、

<tex>
\delta((ax+by)-(ax^\prime +by^\prime )) \delta((cx+dy)-(cx^\prime +dy^\prime )) = \dfrac{1}{ad-bc} \delta(x-x^\prime) \delta(y-y^\prime) \tag{##}
</tex>

となります。よって、

<tex>
\mathcal{G}^{-1} \left( \mathcal{G}(f) \right) 
&= \int_{-\infty}^\infty dy \int_{-\infty}^\infty dx f(x,y) \delta((ax+by)-(ax^\prime +by^\prime )) \delta((cx+dy)-(cx^\prime +dy^\prime )) \\
&= \dfrac{1}{ad-bc} \int_{-\infty}^\infty dy \int_{-\infty}^\infty dx f(x,y) \delta(x-x^\prime) \delta(y-y^\prime) \\
&= \dfrac{1}{ad-bc} f(x^\prime,y^\prime) \tag{##}
</tex>

が言えました。この積分の微小要素 $dxdy$ は符号付きで
あります。 $x$ 方向を反時計周りに９０度回転すると $y$ 方向となる。
この時積分素 $dxdy$ は正になります。 $\omega_1,\omega_2$ についても同様です。

また、波面に垂直なベクトル $(a,b)$ を $(c,d)$ に原点を中心に回転して
方向を重ねる時、
反時計回りに回った方が早い場合、 $ad-bc>0$ であり、
時計回りに回った方が早い場合、 $ad-bc<0$ です。
なお、この $ad-bc$ とはベクトル $(a,b)$ と $(c,d)$ から作られる平行四辺形の面積の事です。

今回ここで示した定理は不思議な事だと思うのです。
直交した２方向のフーリエ変換と斜交した２方向のフーリエ変換は
波数空間では少し違ったものになりますが、
もう一度フーリエ逆変換を施すと、定数倍の差こそあれ、
元の関数に戻ってくるのです。最初に試みた時は、
複雑な計算になってしまうだろうと思っていましたが、
実際やってみると、すごく簡単でした。

ここで示せたことを簡単に言葉で解釈するなら、
今までの二次元フーリエ変換では、二次元の関数を $e^{i \omega_1 x},e^{i \omega_2 y}$ の基本的な波(基底)に分解していましたが、実は、 $x,y$ の様には直交していない基本的な波(基底) $e^{i(ax+by)\omega_1},e^{i(cx+dy)\omega_2}$ でも、定数倍の差こそあれ、きちんと表現できるという事です。

今日はこの辺で、お疲れ様でした。

@@author:クロメル@@
@@accept:2018-02-11@@
@@category:フーリエ解析@@
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