============================================================
三重対角行列の特性多項式
============================================================

三重対角行列の特性多項式を求める漸化式を
求めてみます。

まず、三重対角行列 $A$ を書きます。

<tex>
A=
\begin{pmatrix}
\alpha_1 & \beta_1 & 0 & \cdots & 0 & 0\\
\gamma_1 & \alpha_2 & \beta_2 & \cdots & 0 & 0 \\
0 & \gamma_2 & \alpha_3 & \cdots & 0 & 0 \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\
0 & 0 & 0 & \cdots & \alpha_{n-1} & \beta_{n-1} \\
0 & 0 & 0 & \cdots & \gamma_{n-1} & \alpha_n
\end{pmatrix}
\tag{##}
</tex>

単位行列を $I$ として、この行列の特性多項式を求めます。
つまり、 $ | \lambda I - A | $ を求めます。
縦線での括弧は、行列式を表します。 $f_n(\lambda)$ を次のように定義します。

<tex>
f_{n}(\lambda) \equiv \det \lambda I - A =
\det \begin{pmatrix}
\lambda - \alpha_1 & -\beta_1 & 0 & \cdots & 0 & 0\\
-\gamma_1 & \lambda-\alpha_2 & -\beta_2 & \cdots & 0 & 0 \\
0 & -\gamma_2 & \lambda-\alpha_3  & \cdots & 0 & 0 \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\
0 & 0 & 0 & \cdots & \lambda-\alpha_{n-1} & -\beta_{n-1} \\
0 & 0 & 0 & \cdots & -\gamma_{n-1} & \lambda-\alpha_n
\end{pmatrix}
\tag{##}
</tex>

すると、一番下の行（横ベクトル）のラプラス展開によって、次のような漸化式が得られます。

<tex>
f_{n}(\lambda) &=
\det \begin{pmatrix}
\lambda - \alpha_1 & -\beta_1 & 0 & \cdots & 0 & 0\\
-\gamma_1 & \lambda-\alpha_2 & -\beta_2 & \cdots & 0 & 0 \\
0 & -\gamma_2 & \lambda-\alpha_3  & \cdots & 0 & 0 \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\
0 & 0 & 0 & \cdots & \lambda-\alpha_{n-1} & -\beta_{n-1} \\
0 & 0 & 0 & \cdots & -\gamma_{n-1} & \lambda-\alpha_n
\end{pmatrix} \\
&= (\lambda -\alpha_n)f_{n-1} - (-\gamma_{n-1})
\det
\begin{pmatrix}
\lambda - \alpha_1 & -\beta_1 & 0 & \cdots & 0 & 0\\
-\gamma_1 & \lambda-\alpha_2 & -\beta_2 & \cdots & 0 & 0 \\
0 & -\gamma_2 & \lambda-\alpha_3 & \cdots & 0 & 0 \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\
0 & 0 & 0 & \cdots & \lambda-\alpha_{n-2} & 0 \\
0 & 0 & 0 & \cdots & -\gamma_{n-2} & -\beta_{n-1}
\end{pmatrix}
\tag{##}
</tex>

ここで、最後の式で第二項は、最後の列（縦ベクトル）で展開すると、 $f_{n-2}$ と $-\beta_{n-1}$ の積で表現できまして、

<tex>
f_{n}(\lambda) = (\lambda -\alpha_n)f_{n-1} - \beta_{n-1} \gamma_{n-1} f_{n-2}
\tag{##}
</tex>

こうして、うまく漸化式が立てられました。
実際に計算してみると、 $f_0(\lambda)=1$ とすれば、
うまく計算のつじつまが合いまして、

<tex>
f_0(\lambda)=1 \tag{##}
</tex>


<tex>
f_1(\lambda)= \lambda - \alpha_1 \tag{##}
</tex>

<tex>
f_2(\lambda)=(\lambda - \alpha_1)(\lambda - \alpha_2)- \beta_1 \gamma_1 \tag{##}
</tex>

<tex>
f_3(\lambda)=(\lambda - \alpha_1)(\lambda - \alpha_2)(\lambda - \alpha_3)- \beta_1 \gamma_1 (\lambda -  \alpha_3) 
- \beta_2 \gamma_2 (\lambda - \alpha_1)  \tag{##}
</tex>

と、この様に次々特性多項式が求まっていきます。
それでは、今日はこの辺で。

@@author:クロメル@@
@@accept:2010-10-24@@
@@category:物理数学@@
@@id:charaOfTridia@@