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三角関数の微分2
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三角関数の微分1_ でイメージをとらえたので，今度は解析的に公式を導いてみます．それには導関数の定義
<tex>
\frac{df(x)}{dx} =\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}
</tex>
を使います．この定義から素直に考えるだけです．


sin関数の導関数
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導関数の定義において， $f(x)$ を $\sin(x)$ に置き換えると
<tex>
\frac{d}{dx}\sin(x) =\lim_{h\to 0}\frac{\sin(x+h)-\sin(x)}{h}
</tex>
です．ここからどうしたらいいでしょうか．
三角関数に慣れている人なら，つぎの公式が思い浮かぶでしょう．
<tex>
\sin A-\sin B=2\cos\frac{A+B}{2}\sin\frac{A-B}{2}
</tex>
三角関数同士の足し算を積にする関係式です．微分積分の計算では，
三角関数の足し算を積に変えたり，その逆をしてみるとうまくいくことが多いです．
というわけで積の形に変形してみます．
<tex>
\sin(x+h)-\sin(x) &= 2\cos\frac{(x+h)+(x)}{2}\sin\frac{(x+h)-(x)}{2}\\
                  &= 2\cos\frac{2x+h}{2}\sin\frac{h}{2}\\
                  &= 2\cos\left(x+\frac{h}{2}\right)\sin\frac{h}{2}
</tex>
したがって，導関数の定義の式は
<tex>
\frac{d}{dx}\sin(x) =\lim_{h\to 0}\frac{2\cos\left(x+\dfrac{h}{2}\right)\sin\dfrac{h}{2}}{h}
</tex>
となり，分子が積の形になりました．分母分子を2で割ると
<tex>
\frac{d}{dx}\sin(x)
 &= \lim_{h\to 0} \frac{\cos\left(x+\dfrac{h}{2}\right)\sin\dfrac{h}{2}}{\dfrac{h}{2}}\\
 &= \lim_{h\to 0}\cos\left(x+\dfrac{h}{2}\right) \frac{\sin\dfrac{h}{2}}{\dfrac{h}{2}}\\
 &= \lim_{h\to 0}\cos\left(x+\dfrac{h}{2}\right) \cdot \lim_{h\to 0}\frac{\sin\dfrac{h}{2}}{\dfrac{h}{2}}
</tex>
ここで $h\to 0$ の極限にもって行けば導関数が得られます．
$h\to 0$ のとき $\dfrac{h}{2}\to 0$ になるのはいいですよね．
分子がゼロになるのだから分数全体でもゼロです．ですから
<tex>
\lim_{h\to 0}\cos\left(x+\dfrac{h}{2}\right)=\cos(x)
</tex>
です． $\sin$ の方の極限ですが，
<tex>
\lim_{h\to 0}\frac{\sin\dfrac{h}{2}}{\dfrac{h}{2}}=1
</tex>
となるのは良いでしょうか．
この証明ははさみうちの方法で行いますが，ここでは公式として使います．以上より
<tex>
\frac{d}{dx}\sin(x)
 &= \lim_{h\to 0}\cos\left(x+\dfrac{h}{2}\right) \cdot \lim_{h\to 0}\frac{\sin\dfrac{h}{2}}{\dfrac{h}{2}}\\
 &= \cos(x)\cdot 1\\
 &= \cos(x)
</tex>
となり， $\sin(x)$ の導関数が $\cos(x)$ であることが導かれました．


cos関数の導関数
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$\cos$ 関数の導関数も同様の方法で導くことができます．
<tex>
\frac{d}{dx}\cos(x)
 &= \lim_{h\to 0}\frac{\cos(x+h)-\cos(x)}{h}\\
 &= \lim_{h\to 0} \frac{-2\sin\left(x+\dfrac{h}{2}\right)\sin\dfrac{h}{2}}{h}\\
 &= \lim_{h\to 0} \frac{-\sin\left(x+\dfrac{h}{2}\right)\sin\dfrac{h}{2}}{\dfrac{h}{2}}\\
 &= -\sin(x)\cdot 1\\
 &= -\sin(x)
</tex>
したがって， $\cos(x)$ の導関数が $-\sin(x)$ であることが導かれました．


2階微分したらどうなる？
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三角関数の導関数は重要な性質をもちます．それは，2階微分すると関数の形は変わらず，
符号だけ反転するという性質です．つまり，
<tex>
\frac{d^2}{dx^2}\sin(x) &= \frac{d}{dx}\cos(x)=-\sin(x)\\
\frac{d^2}{dx^2}\cos(x) &= \frac{d}{dx}\{-\sin(x)\}=-\cos(x)
</tex>
ということです．実数の範囲では，このような性質をもつ関数は三角関数だけです．
この性質により，三角関数は単振動の方程式
<tex>
\frac{d^2 x}{dt^2}=-\omega^2 x
</tex>
の解になっています．上式に $x=\sin(\omega t),\, x=\cos(\omega t)$ を
代入して計算すると両辺が等しくなるので，確かに解（特解）になっていることが確認できます．


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@@author: 崎間@@
@@accept: 2004-07-26@@
@@category: 物理数学@@
@@id:trifuncDiff2@@