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三角関数の微分1
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三角関数を続けて微分して行くと， $\sin$ や $\cos$ の繰り返しになりますよね．
たとえば， $\sin(x)$ の微分は
<tex>
\frac{d}{dx}\sin(x) = \cos(x)
</tex>
ですし， $\cos(x)$ の微分は
<tex>
\frac{d}{dx}\cos(x) = -\sin(x)
</tex>
です．2階微分，3階微分となると，これがどんどん繰り返されていくわけです．
使っているうちに公式として覚えてしまいますが，
そもそも三角関数の微分とは何を意味しているのでしょうか．
ここでは，できるだけ視覚的なイメージから，三角関数の微分の意味をとらえて行きたいと思います．


sin(x) の接線の傾き
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$f(x)=\sin(x)$ のグラフはつぎのようなものです．

.. image:: fig1.png

縦軸に $\sin(x)$ ，横軸に $x$ をとっています．微分とはそもそも，接線の傾き（の関数）を求める操作です．
このグラフに，接線の傾きを書き込みますと

.. image:: fig2.png

というふうになります．この接線の傾きに注目しましょう．
$\sin(x)$ のグラフ自体が $x$ 軸と交わる部分，すなわち $x=0, \pi, 2\pi$ で，
接線の傾きが最大もしくは最小になることが分かります．
傾きが最大，というのは最も急に右上に傾いている部分，ということです．

.. image:: fig3.png

また，接線の傾きがゼロになるのは $x=\frac{\pi}{2},\, \frac{3\pi}{2}$ の点です．

.. image:: fig4.png


sin(x) の微分のグラフ
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微分のグラフとは，この接線の傾きのグラフです．
縦軸のスケールは気にしないでおいて，接線の傾きの情報をグラフにてみます．
横軸は先ほどと同じ，縦軸には $\frac{df(x)}{dx}$ ，つまり接線の傾きをとります．
傾きの最大，最小，ゼロの情報から，つぎのように点を打てます．

.. image:: fig5.png

さらに，それぞれの点の間の中途半端な部分も点で埋めます．
最初に $\sin(x)$ のグラフの接線の傾きを描いてみましたから，
なんとなくつぎのようになることが分かると思います．

.. image:: fig6.png

さらに点をたくさん打ちまして，滑らかにつなぐと

.. image:: fig7.png

というものになります．これは見たことありますね． $\cos(x)$ のグラフです．
これで， $\sin(x)$ の微分が $\cos(x)$ になるということが，
グラフの直感的イメージから導かれたことになります．


cos(x) の微分のグラフ
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$f(x)=\cos(x)$ のグラフに対して，同様のことを行ってみます．
すると最終的にはつぎのグラフが得られます．

.. image:: fig8.png

これは $\sin(x)$ のグラフと比べて上下が正反対ですから， $-\sin(x)$ のグラフである，
と言うことができます．したがって， $\cos(x)$ の微分は $-\sin(x)$ であるということも分かりました．

「微分とは接線の傾きである」というイメージさえつかんでいれば，
このように三角関数の微分も，図形から直感的に理解することが可能です．


@@author: 崎間@@
@@accept: 2004-07-14@@
@@category: 物理数学@@
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