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剛体のオイラー角でのハミルトニアン
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剛体の回転シーリズ番外編２です。
オイラー角をパラメータとする剛体のハミルトニアンを求めます。

デカルト座標でのハミルトニアン
================================

まず、デカルト座標での剛体の回転エネルギーを表す
ハミルトニアンを求めます。

点 $O$ から出る角速度ベクトル $\bm{\omega}$ をもつ、
位置 $\bm{r}$ にある剛体 $G$ の微小要素 $\rho d V$ が、
寄与する角運動量は、
<tex>
\delta \bm{L} &= \rho dV (\bm{r} \times \bm{v}) \\
&= \rho dV (\bm{r} \times (\bm{\omega} \times \bm{r}))
</tex>
です。ここで、 $\bm{v}= \bm{\omega} \times \bm{r}$ 
を使いました。

角運動量は全体で
<tex>
\bm{L} &= \int_{in\ G} \delta \bm{L} \\
&= \int_{in\ G} \rho (\bm{r} \times (\bm{\omega} \times \bm{r})) dV
</tex>
の角運動量を持ちます。

剛体 $G$ の運動エネルギー $T$ を考えると、
<tex>
H &= \frac{1}{2} \int_{in\ G} \rho \bm{v} \cdot \bm{v} dV \\
&= \frac{1}{2} \int_{in\ G} \rho (\bm{\omega} \times \bm{r} ) \cdot (\bm{\omega} \times \bm{r} )dV \\
&= \frac{1}{2} \int_{in\ G} \rho \bm{\omega} \cdot (\bm{r} \times (\bm{\omega} \times \bm{r})) dV \\
&= \frac{1}{2} \bm{\omega} \cdot [ \int_{in\ G} \rho \bm{r} \times (\bm{\omega} \times \bm{r}) dV ] \\ 
&= \frac{1}{2} \bm{\omega} \cdot \bm{L} 
</tex>


ここで 慣性モーメント_ の記事の $(1)$ 式より、
<tex>
\bm{L} = I  \bm{\omega} 
</tex>
(ただし、Iは慣性テンソル)
だったので、結局運動エネルギー $T$ は
<tex>
H = \frac{1}{2}\bm{\omega}^t I \bm{\omega} \tag{##}
</tex>
（ただし、添え字 $t$ は転置を表す）
となります。

慣性主軸
==============

デカルト座標系 $x ,\ y,\ z$ において、主慣性モーメント $I_x, \ I_y, \ I_z$ を持つ剛体があるとします。
目的は、オイラー角をつかった座標系を慣性主軸を使った座標系に対応付けることです。

まずは、慣性主軸 $x_I,\  y_I , \ z_I$ へ移る座標系を考えていきます。


基底の変換の際、ベクトルの基底 $\bm{e}_x , \ \bm{e}_y , \ \bm{e}_z$ の変換行列 $\{P\}_{ij}$ と
ベクトルの成分 $\omega_x,\omega_y,\omega_z$ の変換行列 $\{Q\}_{ij}$ との間には、
<tex>
\{Q\}_{ij}=\{P\}_{ji}
</tex>
の関係があり、

<tex>
\begin{pmatrix}
\bm{e}_x^\prime \\
\bm{e}_y^\prime \\
\bm{e}_z^\prime 
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
P_{11} & P_{12} & P_{13} \\
P_{21} & P_{22} & P_{23} \\
P_{31} & P_{32} & P_{33}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\bm{e}_x \\
\bm{e}_y \\
\bm{e}_z
\end{pmatrix}
</tex>
と、
<tex>
\begin{pmatrix}
\omega_x \\
\omega_y \\
\omega_z
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
Q_{11} & Q_{12} & Q_{13} \\
Q_{21} & Q_{22} & Q_{23} \\
Q_{31} & Q_{32} & Q_{33}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\omega_x^\prime \\
\omega_y^\prime \\
\omega_z^\prime 
\end{pmatrix}
</tex>
が成り立つことを確認してください [*]_ 。

.. [*] この事については、詳しくは ベクトルの基底の変換_ を参照してください。

まずは、基底の変換を考えます。
基底 $\bm{e_i}$ から $\bm{e}_i^\prime$ への変換は、

.. image :: chromel-rigidEuler-01-t.png

（◎は画面手前に向かうベクトル）

<tex>
\begin{pmatrix}
\bm{e}_x^\prime \\
\bm{e}_y^\prime \\
\bm{e}_z^\prime 
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
\cos \phi & \sin \phi & 0 \\
-\sin \phi & \cos \phi & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\bm{e}_x \\
\bm{e}_y \\
\bm{e}_z
\end{pmatrix}
</tex>

同様にして、

.. image :: chromel-rigidEuler-02-t.png

<tex>
\begin{pmatrix}
\bm{e}_x^{\prime\prime} \\
\bm{e}_y^{\prime\prime} \\
\bm{e}_z^{\prime\prime} 
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
\cos \theta & 0 & -\sin \theta \\
0 & 1 & 0 \\
\sin \theta & 0 & \cos \theta
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\bm{e}_x^\prime \\
\bm{e}_y^\prime \\
\bm{e}_z^\prime 
\end{pmatrix}
</tex>

.. image :: chromel-rigidEuler-03-t.png

<tex>
\begin{pmatrix}
\bm{e}_{xI} \\
\bm{e}_{xI} \\
\bm{e}_{xI} \\
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
\cos \psi & \sin \psi & 0 \\
- \sin \psi & \cos \psi & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\bm{e}_x^{\prime\prime} \\
\bm{e}_y^{\prime\prime} \\
\bm{e}_z^{\prime\prime} 
\end{pmatrix} \tag{##}
</tex>

オイラー角の角速度ベクトルの導入
======================================

ここで、角速度ベクトル $\bm{\omega}$ をオイラー角の角速度ベクトルの成分 $\dot{\phi},\ \dot{\theta},\ \dot{\psi}$ 
で表し、慣性主軸との対応付けすることを目的とします。ベクトルの「基底」の変換か、ベクトルの「成分」なのか注意してみてください。
「基底」 $\bm{e}_{z^\prime} = \bm{e}_z $ 周りの回転は、 $\dot{\phi}$ という角速度ベクトルの「成分」が対応します。
同様に $ \bm{e}_{y{\prime\prime}} $ 周りの回転は $\dot{\theta}$ 、 $\bm{e}_{z{\prime\prime}}$ まわりは、 $\dot{\psi}$ 
が対応します（下図参照）。

.. image :: chromel-rigidEuler-04-t.png

（上図をさらに $e_z^{\prime\prime}$ 軸まわりに $\psi$ だけ回転したものが、慣性主軸 $e_{xI},e_{yI},e_{zI}$ です。）

基底 $\bm{e}_{z^\prime}, \ \bm{e}_{y{\prime\prime}}, \ \bm{e}_{z{\prime\prime}}$ 
から、 $\bm{e}_{x{\prime\prime}}, \ \bm{e}_{y{\prime\prime}}, \ \bm{e}_{z{\prime\prime}}$ への変換を
もとめることができ、それは「基底の変換」として、、
<tex>
\begin{pmatrix}
\bm{e}_z^\prime \\
\bm{e}_y^{\prime\prime} \\
\bm{e}_z^{\prime\prime}
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
- \sin \theta & 0 & \cos \theta \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\bm{e}_x^{\prime\prime} \\
\bm{e}_y^{\prime\prime} \\
\bm{e}_z^{\prime\prime}
\end{pmatrix}
</tex>
と求まります。よって、これを「成分」に直すと、
<tex>
\begin{pmatrix}
\omega_x^{\prime\prime} \\
\omega_y^{\prime\prime} \\
\omega_z^{\prime\prime}
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
- \sin \theta & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
\cos \theta & 0 & 1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\omega_z^\prime \\
\omega_y^{\prime\prime} \\
\omega_z^{\prime\prime}
\end{pmatrix}
</tex>
これがベクトルの「成分」の変換則です。
今、
<tex> \begin{pmatrix}
\omega_z^\prime \\
\omega_y^{\prime\prime} \\
\omega_z^{\prime\prime}
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
\dot{\phi} \\
\dot{\theta} \\
\dot{\psi}
\end{pmatrix} \tag{##}
 </tex> 
というベクトルの成分に関する関係がありますから、
<tex>
\begin{pmatrix}
\omega_x^{\prime\prime}\\
\omega_y^{\prime\prime}\\
\omega_z^{\prime\prime}
\end{pmatrix}
&= U_1 \begin{pmatrix}
\dot{\phi} \\
\dot{\theta} \\
\dot{\psi}
\end{pmatrix}
\\
&=
\begin{pmatrix}
- \sin \theta & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
\cos \theta & 0 & 1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\dot{\phi} \\
\dot{\theta} \\
\dot{\psi}
\end{pmatrix} \tag{##}
</tex>

となります。

慣性主軸との対応付け
=======================

目的としていたのは、 $(3)$ の角速度ベクトルと、
慣性主軸との対応ですから、式 $(2)$ を「成分」
の変換に直すと、

<tex>
\begin{pmatrix}
\omega_x^{\prime\prime} \\
\omega_y^{\prime\prime} \\
\omega_z^{\prime\prime}
\end{pmatrix}
&= U_2
\begin{pmatrix}
\omega_{xI} \\
\omega_{yI} \\
\omega_{zI} 
\end{pmatrix}
\\
&=
\begin{pmatrix}
\cos \psi & -\sin \psi & 0 \\
\sin \psi & \cos \psi & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\omega_{xI} \\
\omega_{yI} \\
\omega_{zI} 
\end{pmatrix} \tag{##}
</tex>

今、

<tex>
\begin{pmatrix}
\omega_x^{\prime\prime} \\
\omega_y^{\prime\prime} \\
\omega_z^{\prime\prime}
\end{pmatrix}
= U_2
\begin{pmatrix}
\omega_{xI} \\
\omega_{yI} \\
\omega_{zI} 
\end{pmatrix}
= U_1 \begin{pmatrix}
\dot{\phi} \\
\dot{\theta} \\
\dot{\psi}
\end{pmatrix}
</tex>

より、

<tex>
\begin{pmatrix}
\omega_{xI} \\
\omega_{yI} \\
\omega_{zI} 
\end{pmatrix}
&= (U_2)^{-1} U_1 \begin{pmatrix}
\dot{\phi} \\
\dot{\theta} \\
\dot{\psi}
\end{pmatrix} \\
&= 
\begin{pmatrix}
\cos \psi & \sin \psi & 0 \\
-\sin \psi & \cos \psi & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
- \sin \theta & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
\cos \theta & 0 & 1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\dot{\phi} \\
\dot{\theta} \\
\dot{\psi}
\end{pmatrix} \\
&=
\begin{pmatrix}
- \cos \psi \sin \theta & \sin \psi & 0 \\
\sin \psi \sin \theta & \cos \psi & 0 \\
\cos \theta & 0 & 1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\dot{\phi} \\
\dot{\theta} \\
\dot{\psi}
\end{pmatrix} \\
&= T \begin{pmatrix}
\dot{\phi} \\
\dot{\theta} \\
\dot{\psi}
\end{pmatrix} \tag{##}
</tex>

回転の運動エネルギーの表現
==============================

式 $(1)$ と式 $(6)$ より、
<tex>
H &= \frac{1}{2}
\begin{pmatrix}
\omega_{xI} & \omega_{yI} & \omega_{zI}
\end{pmatrix} 
\begin{pmatrix}
I_x &0&0 \\
0& I_y &0 \\
0&0& I_z
\end{pmatrix} 
\begin{pmatrix}
\omega_{xI} \\
\omega_{yI} \\
\omega_{zI}
\end{pmatrix} \\
&= \frac{1}{2}
\begin{pmatrix}
\omega_{xI} & \omega_{yI} & \omega_{zI}
\end{pmatrix} 
I
\begin{pmatrix}
\omega_{xI} \\
\omega_{yI} \\
\omega_{zI}
\end{pmatrix} \\
&=
\frac{1}{2}
\begin{pmatrix}
\dot{\phi} & \dot{\theta} & \dot{\psi}
\end{pmatrix} 
T^tIT
\begin{pmatrix}
\dot{\phi} \\
\dot{\theta} \\
\dot{\psi}
\end{pmatrix} \\
&=
\frac{1}{2}
\begin{pmatrix}
\dot{\phi} & \dot{\theta} & \dot{\psi}
\end{pmatrix} 
V
\begin{pmatrix}
\dot{\phi} \\
\dot{\theta} \\
\dot{\psi}
\end{pmatrix} \\
&=\frac{1}{2}(V_{xx}\dot{\phi}^2+V_{yy}\dot{\theta}^2+V_{zz}\dot{\psi}^2
+ 2V_{yz}\dot{\theta}\dot{\psi}+2V_{zx}\dot{\psi}\dot{\phi}
+ 2V_{xy}\dot{\phi}\dot{\theta} )
</tex>
（ただし、Vは対称行列）

正準な運動量は、ハミルトニアンとパラメータ $\lambda$ を使って、
<tex>
p_{\lambda}=\frac{\partial H}{\partial \dot{\lambda}}
</tex>
のように表わされるので、

<tex>
p_{\phi} &= \frac{\partial H}{\partial \dot{\phi} } \\
&= V_{xx} \dot{\phi} + V_{xy}\dot{\theta}+V_{xz}\dot{\psi}
</tex>
<tex>
p_{\theta} &= \frac{\partial H}{\partial \dot{\theta}} \\
&= V_{yx} \dot{\phi} + V_{yy}\dot{\theta}+V_{yz}\dot{\psi}
</tex>
<tex>
p_{\psi} &= \frac{\partial H}{\partial \dot{\psi} } \\
&= V_{zx} \dot{\phi} + V_{zy}\dot{\theta}+V_{zz}\dot{\psi}
</tex>

よって、

<tex>
\begin{pmatrix}
p_{\phi} \\
p_{\theta} \\
p_{\psi}
\end{pmatrix}
=V
\begin{pmatrix}
\dot{\phi} \\
\dot{\theta} \\
\dot{\psi}
\end{pmatrix}
</tex>
となるから、ハミルトニアンを正準な運動量で表すと、

<tex>
H &=
\frac{1}{2}
\begin{pmatrix}
\dot{\phi} & \dot{\theta} & \dot{\psi}
\end{pmatrix} 
V
\begin{pmatrix}
\dot{\phi} \\
\dot{\theta} \\
\dot{\psi}
\end{pmatrix} \\
&=
\frac{1}{2}
\begin{pmatrix}
p_{\phi} &
p_{\theta} &
p_{\psi}
\end{pmatrix}

(V^{-1})^t V V^{-1}

\begin{pmatrix}
p_{\phi} \\
p_{\theta} \\
p_{\psi}
\end{pmatrix} \\
&=
\frac{1}{2}
\begin{pmatrix}
p_{\phi} &
p_{\theta} &
p_{\psi}
\end{pmatrix}

(V^{-1})^t

\begin{pmatrix}
p_{\phi} \\
p_{\theta} \\
p_{\psi}
\end{pmatrix} \\
&=
\frac{1}{2}
\begin{pmatrix}
p_{\phi} &
p_{\theta} &
p_{\psi}
\end{pmatrix}

V^{-1}

\begin{pmatrix}
p_{\phi} \\
p_{\theta} \\
p_{\psi}
\end{pmatrix}
</tex>

これで、 $V^{-1}$ を求めればハミルトニアンが求められます。

VとV^{-1}の計算
====================

まず、 $V$ を求めます。
以前私が書いた行列の 三連続積の展開_ を利用すれば、

<tex>
V&= T^tIT \\
&= 
\begin{pmatrix}
- \cos \psi \sin \theta & \sin \psi \sin \theta & \cos \theta \\
\sin \psi & \cos \psi & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
I_x &0&0 \\
0& I_y &0 \\
0&0& I_z
\end{pmatrix} 
\begin{pmatrix}
- \cos \psi \sin \theta & \sin \psi & 0 \\
 \sin \psi \sin \theta& \cos \psi & 0 \\
\cos \theta & 0 & 1
\end{pmatrix} \\
&= 
I_x
\begin{pmatrix}
 \cos^2 \psi \sin^2 \theta & - \sin \psi \cos \psi \sin \theta & 0 \\
- \sin \psi \cos \psi \sin \theta& \sin^2 \psi & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix} \\
&+
I_y
\begin{pmatrix}
 \sin^2 \psi \sin^2 \theta & \sin \psi \cos \psi \sin \theta & 0 \\
\sin \psi \cos \psi \sin \theta & \cos^2 \psi & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix} \\
&+
I_z
\begin{pmatrix}
 \cos^2 \theta & 0 & \cos \theta  \\
0 & 0 & 0 \\
\cos \theta & 0 & 1
\end{pmatrix}
</tex>

この行列の行列式は、
<tex>
det V= I_xI_yI_z \sin^2 \theta
</tex>

余因子行列 $\tilde{V}$ （逆行列の $detV$ 倍）の成分は、

<tex>
\tilde{V}_{xx}=I_z(I_x \sin^2 \psi +I_y \cos^2 \psi)
</tex>

<tex>
\tilde{V}_{xy}=-I_z(- I_x +I_y) \cos \psi \sin \psi \sin \theta
</tex>

<tex>
\tilde{V}_{xz}=-I_z \cos \theta (I_x \sin^2 \psi + I_y \cos^ \psi)
</tex>

<tex>
\tilde{V}_{yy}= I_z(I_x \cos^2 \psi + I_y \sin^2 \psi)
</tex>

<tex>
\tilde{V}_{yz}= -I_z \cos \theta (-I_x + I_y) \sin \psi \cos \psi \sin \theta
</tex>

<tex>
\tilde{V}_{zz}= I_z \cos^2 \theta(I_x \sin^2 \psi + I_y \cos^2 \psi)+I_xI_y\sin^2 \theta
</tex>

よって、無事ハミルトニアンは求まり、

<tex>
2H &= 
\begin{pmatrix}
p_{\phi} &
p_{\theta} &
p_{\psi}
\end{pmatrix}

V^{-1}

\begin{pmatrix}
p_{\phi} \\
p_{\theta} \\
p_{\psi}
\end{pmatrix}\\
&= 
\begin{pmatrix}
p_{\phi} &
p_{\theta} &
p_{\psi}
\end{pmatrix}

\tilde{V}/detV

\begin{pmatrix}
p_{\phi} \\
p_{\theta} \\
p_{\psi}
\end{pmatrix} \\
&=p_\phi^2(\frac{\sin^2 \psi}{I_y \sin^2 \theta}+\frac{\cos^2 \psi}{I_x \sin^2 \theta})\\
&-2 p_\phi p_\theta (-\frac{\sin \psi \cos \psi \sin \theta }{I_y\sin^2 \theta}+\frac{\sin \psi \cos \psi \sin \theta}{I_x\sin^2 \theta})\\
&-2 p_\phi p_\psi (\frac{\sin^2 \psi \cos \theta}{I_y \sin^2 \theta}+\frac{\cos^2 \psi \cos \theta}{I_x \sin^2 \theta})\\
&+p_\theta^2(\frac{\cos^2 \psi \sin^2 \theta}{I_y \sin^2 \theta}+\frac{\sin^2 \psi \sin^2 \theta}{I_x\sin^2 \theta})\\
&-2p_\theta p_\psi (\frac{\sin \psi \cos \psi \sin \theta \cos \theta}{I_y \sin^2 \theta}-\frac{\sin \psi \cos \psi \sin \theta \cos \theta}{I_x \sin^2 \theta})\\
&+p_\psi^2(\frac{\sin^2 \psi \cos^2 \theta}{I_y \sin^2 \theta}+\frac{\cos^2 \psi \cos^2 \theta}{I_x \sin^2 \theta}+\frac{1}{I_z})\\
&=\frac{1}{I_x \sin^2 \theta}\{ (p_\phi- \cos \theta p_\psi)\cos \psi - \sin \theta \sin \psi p_\theta \}^2\\
&+\frac{1}{I_y \sin^2 \theta}\{ (p_\phi- \cos \theta p_\psi)\sin \psi + \sin \theta \cos \psi p_\theta \}^2\\
&+\frac{1}{I_z}p_\psi^2
</tex>

以上で終わりです。
長くなってしまったので結論だけ書くと、

<tex>
H&=\frac{1}{2I_x \sin^2 \theta}\{ (p_\phi- \cos \theta p_\psi)\cos \psi - \sin \theta \sin \psi p_\theta \}^2\\
&+\frac{1}{2I_y \sin^2 \theta}\{ (p_\phi- \cos \theta p_\psi)\sin \psi + \sin \theta \cos \psi p_\theta \}^2\\
&+\frac{1}{2I_z}p_\psi^2
</tex>

となります。

.. _ベクトルの基底の変換: http://hooktail.sub.jp/vectoranalysis/vectorTransform/
.. _三連続積の展開: http://hooktail.sub.jp/mathInPhys/3MatricesProduct/
.. _慣性モーメント: http://hooktail.sub.jp/mechanics/momentOfInertia/

@@author:クロメル@@
@@accept:2009-01-29@@
@@category:力学@@
@@id:rigidEuler@@