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行列の積の表現方法
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行列をベクトルの集合と見た時の積の表現方法について書きます。
短い記事です。

その一（内積の集合）
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まずは一つ目、おそらく、これは皆さんよくご存じだと思います。
３次の正方行列A,Bを、Aは行ベクトルの集合、Bは列ベクトルの集合と考えます。
すると、普通のベクトルを列ベクトルとして、行ベクトルをその転置( $^T$ )として、

<tex>
AB &=
\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
a_{31} & a_{32} & a_{33}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
b_{11} & b_{21} & b_{31} \\
b_{12} & b_{22} & b_{32} \\
b_{13} & b_{23} & b_{33}
\end{pmatrix} \\
&=
\begin{pmatrix}
\  & \bm{a}_1^T & \  \\
\  & \bm{a}_2^T & \  \\
\  & \bm{a}_3^T & \ 
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
 \  & \  & \  \\
\bm{b}_1 & \bm{b}_2 & \bm{b}_3 \\
 \  & \  & \  
\end{pmatrix} \\
&=
\begin{pmatrix}
\bm{a}_1 \cdot \bm{b}_1 & \bm{a}_1 \cdot \bm{b}_2 & \bm{a}_1 \cdot \bm{b}_3  \\
\bm{a}_2 \cdot \bm{b}_1 & \bm{a}_2 \cdot \bm{b}_2 & \bm{a}_2 \cdot \bm{b}_3  \\
\bm{a}_3 \cdot \bm{b}_1 & \bm{a}_3 \cdot \bm{b}_2 & \bm{a}_3 \cdot \bm{b}_3
\end{pmatrix} \tag{##}
</tex>

と、このように各成分がベクトルの内積になります。

その二（ダイアドの集合）
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次は、３次の正方行列A,Bを、Aは列ベクトルの集合、Bは行ベクトルの集合と考えます。
すると、

<tex>
AB &=
\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{21} & a_{31} \\
a_{12} & a_{22} & a_{32} \\
a_{13} & a_{23} & a_{33}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
b_{11} & b_{12} & b_{13} \\
b_{21} & b_{22} & b_{23} \\
b_{31} & b_{32} & b_{33}
\end{pmatrix} \\
&=
\begin{pmatrix}
 \  & \  & \  \\
\bm{a}_1 & \bm{a}_2 & \bm{a}_3 \\
 \  & \  & \  
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\  & \bm{b}_1^T & \  \\
\  & \bm{b}_2^T & \  \\
\  & \bm{b}_3^T & \ 
\end{pmatrix} \\
&=
\begin{pmatrix}
a_{11}b_{11} & a_{11}b_{12} & a_{11}b_{13} \\
a_{12}b_{11} & a_{12}b_{12} & a_{12}b_{13} \\
a_{13}b_{11} & a_{13}b_{12} & a_{13}b_{13} 
\end{pmatrix}
+
\begin{pmatrix}
a_{21}b_{21} & a_{21}b_{22} & a_{21}b_{23} \\
a_{22}b_{21} & a_{22}b_{22} & a_{22}b_{23} \\
a_{23}b_{21} & a_{23}b_{22} & a_{23}b_{23} 
\end{pmatrix}
+
\begin{pmatrix}
a_{31}b_{31} & a_{31}b_{32} & a_{31}b_{33} \\
a_{32}b_{31} & a_{32}b_{32} & a_{32}b_{33} \\
a_{33}b_{31} & a_{33}b_{32} & a_{33}b_{33} 
\end{pmatrix} \\
&=
\sum_{i=1}^3 \bm{a}_{i} \bm{b}_{i} 
 \tag{##}
</tex>

となります。最後の表現は少し説明がいるかもしれません。

これはダイアド（ダイアド積、ダイアディックともいう）
と言うもので、

<tex>
\bm{a} \bm{b}=
\begin{pmatrix}
a_{1}b_{1} & a_{1}b_{2} & a_{1}b_{3} \\
a_{2}b_{1} & a_{2}b_{2} & a_{2}b_{3} \\
a_{3}b_{1} & a_{3}b_{2} & a_{3}b_{3} 
\end{pmatrix}
</tex>

で定義されます。ベクトルを $\cdot , \times$ 等を使わずにただ並べる積です。
関連記事として、 続ベクトルの回転_ 、 正方行列の三連続積の展開_ を挙げておきます。
よかったら、そちらもご覧ください。

その３（列ベクトルの線形結合）
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話はまだ続きます。では、A,Bともに列ベクトルだと見たらどうなるでしょうか？
それは、

<tex>
AB &=
\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{21} & a_{31} \\
a_{12} & a_{22} & a_{32} \\
a_{13} & a_{23} & a_{33} 
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
b_{11} & b_{21} & b_{31} \\
b_{12} & b_{22} & b_{32} \\
b_{13} & b_{23} & b_{33}
\end{pmatrix} \\
&=
\begin{pmatrix}
 \  & \  & \  \\
\bm{a}_1 & \bm{a}_2 & \bm{a}_3 \\
 \  & \  & \  
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
 \  & \  & \  \\
\bm{b}_1 & \bm{b}_2 & \bm{b}_3 \\
 \  & \  & \  
\end{pmatrix} \\
&=
\begin{pmatrix}
 \  & \  & \  \\
b_{11}\bm{a}_1 + b_{12}\bm{a}_2 + b_{13} \bm{a}_3 & 
b_{21}\bm{a}_1 + b_{22}\bm{a}_2 + b_{23} \bm{a}_3 & 
b_{31}\bm{a}_1 + b_{32}\bm{a}_2 + b_{33} \bm{a}_3 \\
 \  & \  & \  
\end{pmatrix}
\tag{##}
</tex>

とこの様になります。二つとも行ベクトルとして見たときについては、
ご自分で計算してみてください。
今度は、Bの行ベクトルの線形結合が積の行列ABの行ベクトルとなります。
それでは、今日はこの辺で。お疲れ様でした。

.. _続ベクトルの回転: http://hooktail.sub.jp/vectoranalysis/vectorRot2/
.. _正方行列の三連続積の展開: http://hooktail.sub.jp/mathInPhys/3MatricesProduct/

@@author:クロメル@@
@@accept:2012-11-01@@
@@category:物理数学@@
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