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行列の階数を区別するものは何か？
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みなさんは、 $n$ 次行列 $A$ の $rank A$ に
ついて、 $rank A = n$  の時、正則なのはわかった、
じゃあ、 $rank A < n$ の時は、どんな性質を持っているのだろう。
特に $rank A = i,j\ \ \ (i,j<n, i \neq j)$ の時、 $i$ と $j$ の違いは？
と考えたことはありませんか？
その疑問の一つに答えるのが、この記事です。
数学になれている方は、「具体例」を飛ばして、「定理」まで飛んでしまって構いません。

具体例
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まずは、次の二次正方行列( $\dim S=2$ )の違いを調べてみましょう。

<tex>
S=\begin{pmatrix}
s_{11} & s_{12} \\
s_{21} & s_{22}
\end{pmatrix}
</tex>

<tex>
T=\begin{pmatrix}
t_{11} & t_{12} \\
kt_{11} & kt_{12}
\end{pmatrix}
</tex>

<tex>
U=\begin{pmatrix}
0 & 0 \\
0 & 0
\end{pmatrix}
</tex>

ここで、 $k$ はある $0$ でない実数です。
これらの行列は、上から順に $rank\ S=2\ ,\ rank\ T=1\ ,\ rankU=0$ です。
この内、 $S$ は、 $\det S \neq 0$ として区別がつきます。
では、 $T$ と $U$ は、どうやって区別したらいいのでしょうか？

僕は、試しに固有方程式を思い出して、 $\det (T-\lambda I)$ と $\det (U-\lambda I)$ （ただし、 $\lambda$ は
ある数、 $I$ は単位行列）を作ってみることにしました。

すると、
<tex>
\det (T-\lambda I) &=(t_{11}-\lambda)(kt_{12}-\lambda)-kt_{11}k_{12} \\
&= \lambda^2 -(t_{11}+kt_{12})\lambda \tag{##}
</tex>

<tex>
\det (U-\lambda I) = \lambda^2 \tag{##}
</tex>

なんらかの対称性により、 $T$ の方では、 $\lambda $ のゼロ乗の係数を $0$ 
に、 $U$ では、 $\lambda$ の一乗とゼロ乗の係数を $0$ になったと考えられるのではないでしょうか？

次に同様に三次の行列（ $\dim S = 3$ ）を考えてみます。

<tex>
\det (S-\lambda I) &= 
\det \begin{pmatrix} 
s_{11}-\lambda & s_{12} & s_{13} \\
s_{21} & s_{22}-\lambda & s_{23} \\
s_{31} & s_{32} & s_{33}-\lambda
\end{pmatrix} \\
&= (s_{11}-\lambda)(s_{22}-\lambda)(s_{33}-\lambda) + s_{21}s_{32}s_{13} + s_{12}s_{23}s_{31} \\
&- s_{12}s_{21}(s_{33}-\lambda) -s_{23}s_{32}(s_{11} -\lambda)-s_{13}s_{31}(s_{22} -\lambda) \\
&= -\lambda^3 + (s_{11}+s_{22}+s_{33})\lambda^2 -(s_{12}s_{21}+s_{23}s_{32}+s_{31}s_{13}-s_{11}s_{22}-s_{22}s_{33}-s_{33}s_{11})\lambda \\
&+ (s_{11}s_{22}s_{33}+s_{21}s_{32}s_{13}+s_{12}s_{23}s_{31}-s_{12}s_{21}s_{33}-s_{23}s_{32}s_{11}-s_{31}s_{13}s_{22}) \\
&= -\lambda^3 +tr\  S\  \lambda^2 -med\  S\ \lambda +\det S \tag{##}
</tex>

式 $(3)$ で、 $med \ S = s_{12}s_{21}+s_{23}s_{32}+s_{31}s_{13}-s_{11}s_{22}-s_{22}s_{33}-s_{33}s_{11} $ と定義しました。（ $med$ は、「中間」 $medium$ から名づけました。）

ここで、 $rank \ S = 1$ の場合の一例を考えてみましょう。例えば、
<tex>
S= \begin{pmatrix} 
s_{11} & s_{12} & s_{13} \\
k_1 s_{11} & k_1 s_{12} & k_1 s_{13} \\
k_2 s_{11} & k_2 s_{12} & k_2 s_{13}
\end{pmatrix}
</tex>

ここで、 $k_1$ と $k_2$ は、ある定数です。この時、

三次の係数： $-1 \neq 0$ 、

二次の係数： $tr S = s_{11}+k_1s_{22}+k_2s_{33} \neq 0$ 

一次の係数： $med S = k_1s_{11}s_{12}+k_1k_2s_{12}s_{13}+k_2s_{11}s_{13} - k_1s_{11}s_{12}-k_1k_2s_{12}s_{13}-k_2s_{11}s_{13} = 0$ 

０次の係数： $\det S = 0$ 

またまた、なんらかの対称性により、一次とゼロ次の係数はゼロに
なりました。

次は、 $rank \ S= 0$ の時を考えます。

<tex>
S= \begin{pmatrix} 
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
</tex>

この時、三次の係数以外は、すべてゼロになります。

まとめると、 $\dim S = 2$ の時、 $rank \ S =2$ なら係数がゼロにならない、 $rank \ S=1$ の時、ゼロ次の係数がゼロ、 $rank \ S =0$ なら、一次の
係数までゼロ。 $\dim S =3$ の時、 $rank \ S=1$ の時、 $1$ 次までゼロ、 $rank\ S=0$ の時、 $2$ 次までゼロ。
ここから予想できるのは、次のような法則です。

<tex>
x =\dim S - rank \ S -1= n-r-1
</tex>

と置くと、 $x$ 次の項まで、ゼロになるのでしょう。


実際それは正しく、なりたちます。
詳しくは、次の証明を見てください。

定理
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.. admonition:: theorem 

               n次の正方行列 $A$ で、 $rankA=r(<n)$ のとき、特性多項式 $ \det (A-\lambda I)$ は、 $\lambda^i (i=0,1,2,\cdots,n-r-1)$ の係数が $0$ となる。

（証明）

右基本変形 $P$ 、左基本変形 $Q$ によって（この時、 $P,Q$ は $n$ 次正則行列）、任意の $n$ 次正方行列 $A$ は、
次の標準形 $B$ （ｎ次正方行列）に変形することができる。
<tex>
B&=QAP \\
&=
\begin{pmatrix}
I_r & 0 \\
0 & 0
\end{pmatrix}
</tex>

ただし、 $I_r$ は $r$ 次の単位行列とする。

ここで、 $A-\lambda$ の特性多項式 $\Phi$  を考え、
行列式を取る記号を $\det$ でなく、 $| \ \  |$ で表すと、

<tex>
|A- \lambda I | &= |Q^{-1}| |Q(A - \lambda)P||P^{-1}| \\
&= |Q^{-1}||P^{-1}||QAP-\lambda QIP| \\
&= |Q^{-1}||P^{-1}||B-\lambda QP| 
 </tex>

ここで、 $QP=S^{-1}$ と置くと、 $S^{-1}$ は正則行列なので、逆行列 $S$ を持ちますので、

<tex>
|A- \lambda I |&= |Q^{-1}||P^{-1}||B-\lambda S^{-1}| \\
&= |Q^{-1}||P^{-1}||S^{-1}||SB-\lambda I| \\
&= |Q^{-1}||P^{-1}||QP|
\left( \begin{pmatrix}
S_{11} & S_{12} \\
S_{21} & S_{22} 
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
I_r & 0 \\
0 & 0 
\end{pmatrix}
-\begin{pmatrix}
\lambda I_r & 0 \\
0 & \lambda I_{n-r}
\end{pmatrix} \right) \\
&=\begin{pmatrix}
S_{11} - \lambda I_r & 0 \\
S_{21} & -\lambda I_{n-r}
\end{pmatrix} \\
&=
|S_{11}-\lambda I_r||(-1)^{n-r}\lambda I_{n-r}| \\
&= (-1)^{n-r} (r-th \ order \ polynomial \ of\  \lambda) |\lambda I_{n-r}| \\
&= (-1)^{n-r} (r-th \ order\  polynomial \ of\  \lambda) \lambda^{n-r}
</tex>

よって、 $n$ 次多項式である、 $A$ の
特性多項式は、 $\lambda$ の $0$ 次から、 $n-r-1$ 次の項 [*]_ までの係数は、ゼロとなります。

.. [*] : ここで $Q,P$ は正則なので、 $S$ は正則。しかし、 $S_{11}$ も正則で $rank\ S_{11}=r$ となるとは限らず、正確には、「少なくとも $0$ 次から $n-r-1$ 次までは、係数がゼロ。」「しかし、n-r次以上の係数もゼロかも知れない」となります。

長年の疑問が晴れてすっきりしました（安堵）。
  



@@author:クロメル@@
@@accept:2009-08-16@@
@@category:物理数学@@
@@id:charaPoly@@