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行列Aと逆行列A^{-1}の積を入れ替えるとどうなるか？
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今回の話は短いです。気楽にお読みください。

逆行列は左から掛けても右から掛けても同じ？
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ｎ次の正則な（つまり、逆行列を持つ）行列 $ A $ とその逆行列 $ A^{-1} $ の積は定義から、

<tex>
A^{-1}A=I  \tag{##}
</tex>

です。 $I$ はｎ次の単位行列です。
ここで、私が気になったのは、

<tex>
AA^{-1}=?  \tag{##}
</tex>

の値はどうなるかです。ここで、左からの逆行列を $L$ 
右からの逆行列を $R$ とします [*]_ 。

.. [*] ここで注意しておくと $A$ が正則な時、列基本変形(右から掛ける変形)のみ、
 もしくは、行基本変形(左から掛ける変形)のみで単位行列に変形できる
 （詳しくは参考文献の第２章[4,4]参照。）ので、 $L$ が存在するなら $A$ は正則となり $R$ も存在するし、 $R$ が
 存在するならやはり $A$ が正則となり $L$ も存在します。と、いいたいところですが、この引用には一つ難点があります。
 それは、[4,4]の証明の中で、基本変形行列とその逆行列の可換性が仮定されていることです。基本変形行列には、
 逆行列が存在することは仮定しなければなりません。もっといい証明法をご存知の方は是非クロメルまでメールを送って
 ください (^^; 。



つまり、

<tex>
LA=AR=I
</tex>

です。すると、

<tex>
L=LI=L(AR)=LAR=(LA)R=IR=R
</tex>

となり、結局、 $L=R$ が結論されます。
よって、これを $A^{-1}$ と呼べるわけです。

直交行列での実例
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例えば、 $A^{-1}A=I$ となるように作られた、

<tex>
A = \begin{pmatrix}
\dfrac{1}{\sqrt{2}} & \dfrac{1}{\sqrt{3}} & \dfrac{1}{\sqrt{6}} \\
0 & \dfrac{1}{\sqrt{3}} & -\dfrac{2}{\sqrt{6}} \\
-\dfrac{1}{\sqrt{2}} & \dfrac{1}{\sqrt{3}} & \dfrac{1}{\sqrt{6}} 
\end{pmatrix}  \tag{##}
</tex>

という直交行列に対し、

<tex>
AA^{-1} &=
\begin{pmatrix}
\dfrac{1}{\sqrt{2}} & \dfrac{1}{\sqrt{3}} & \dfrac{1}{\sqrt{6}} \\
0 & \dfrac{1}{\sqrt{3}} & -\dfrac{2}{\sqrt{6}} \\
-\dfrac{1}{\sqrt{2}} & \dfrac{1}{\sqrt{3}} & \dfrac{1}{\sqrt{6}} 
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\dfrac{1}{\sqrt{2}} & 0 & -\dfrac{1}{\sqrt{2}} \\
\dfrac{1}{\sqrt{3}} & \dfrac{1}{\sqrt{3}} & \dfrac{1}{\sqrt{3}} \\
\dfrac{1}{\sqrt{6}} & -\dfrac{2}{\sqrt{6}} & \dfrac{1}{\sqrt{6}} 
\end{pmatrix} \\
&= \begin{pmatrix}
\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{6} & \dfrac{1}{3} - \dfrac{2}{6} & -\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{6} \\
\dfrac{1}{3} - \dfrac{2}{6} & \dfrac{1}{3} + \dfrac{4}{6} & \dfrac{1}{3} - \dfrac{2}{6} \\
-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{6} & \dfrac{1}{3} - \dfrac{2}{6} & \dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{6}
\end{pmatrix} \\
&=\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}\\
&=I \tag{##}
</tex>

と確かに $AA^{-1} =I$ が成立しています。
これは、私は理屈では分かるのですが、
とても不思議だと思っています。

それでは、今日はこの辺で。

@@reference: 齋藤正彦,線型代数入門,東京大学出版会,1966,p52,4130620010@@

@@author:クロメル@@
@@accept:2012-07-24@@
@@category:物理数学@@
@@id:comAA-1@@