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格子欠陥の統計力学とフェルミ分布
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金属結晶を考えます。できるにはエネルギー $W$ を必要とする、格子欠陥（格子以外の場所に割り込んだ同種の金属原子）を起こしている原子数を $n$ 個、格子を作っている原子数を $N$ とすると、フェルミ分布関数から、

<tex>
n = \dfrac{N}{e^{\beta W}+1} \tag{##}
</tex>

と考えられます。この式を導出してみます。ただし、 $\beta = \dfrac{1}{k_B T}$ 、つまり逆温度です。


自由エネルギー
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金属結晶は体積がほとんど変わらないので、膨張によるエネルギーは無視でき、ヘルムホルツの自由エネルギー $F$ を考えれば良いでしょう。

<tex>
F = E -TS \tag{##}
</tex>

が基本です。ここで、格子欠陥ができる前のエネルギーを  $E = E_0$  とすると、
    $n$ 個の欠陥ができた後は、 $E = E_0+ n W$ となります。また、およそ $N$ 個の場所に $n$ 個の欠陥原子が割り込んでいると、考えられますから、組み合わせの数は、 $w=_NC_n=\dfrac{N!}{n!(N-n)!}$ となります。よって、エントロピーは、ボルツマンの関係式より、スターリングの公式 $\ln x! \simeq x \ln x - x$ を用いて、

<tex>
S(n) &= k_B \ln w \\
&= k_B ( N \ln N - n \ln n -(N-n) \ln (N-n) ) \tag{##}
</tex>

ですから、自由エネルギー $F(n)$ は、

<tex>
F(n) &= E(n) -TS(n) \\
&= E_0 + n W - k_B T ( N \ln N - n \ln n -(N-n) \ln (N-n) ) \tag{##}
</tex>

となります。さて、実現されるのは自由エネルギーが最小となる $n$ の値ですので、式 $(4)$ を微分してゼロに等しくなる $n$ が実現される $n$ となります。

<tex>
\dfrac{d}{d n} F(n) = W + k_B T  \ln n - k_B T \ln (N-n) = 0  \tag{##}
</tex>

よって、

<tex>
\ln n - \ln (N-n) = \dfrac{-W}{k_B T} = - \beta W \tag{##}
</tex>

<tex>
\dfrac{n}{N-n} = e^{- \beta W} \tag{##}
</tex>

<tex>
n = \dfrac{N}{e^{\beta W}+1} \tag{##}
</tex>

が導けました。つまり、これはフェルミ分布した欠陥粒子数の期待値となります。これは、一つの欠陥サイトには一つしか原子が入れないと考えた為、フェルミオンの計算になったと考えられます。今日はこの辺で。お疲れ様でした。
@@author:クロメル@@
@@accept:2014-05-20@@
@@category:統計力学@@
@@id:koushiKekkan@@