=============================================== 可解群について補足 =============================================== 有限群 $G$ の部分群の組成列を考えるとき、隣り合う群の商群 $G_{n}/G_{n+1}$ が全て可換群になるとき、 $G$ を *可解群* と呼ぶのでした。 G = G_{0} \supset G_{1} \supset ... \supset G_{n-1} \supset G_{n} = \{ e \} \tag{1} 可解群の定義だけは組成列と単純群_ で紹介していますが、その役割については何も触れませんでした。名前から察せられるように、方程式の可解性を考えるときに重要な概念なのです。この記事では、後でガロア理論で使うために必要な、可解群に関する定理を導いておきます。二つ定理を紹介しますが、二番目の方が特に重要です。 .. admonition:: theorem 群 $G$ の正規部分群を $H$ とします。 $G$ が可解群となるのは、 $H$ および $G/H$ が可解群になる場合に限ります。 .. admonition:: proof 式 $(1)$ の組成列を考えて、 $H=G_{k}$ だと仮定します。すると $H$ の組成列として $H= G_{k} \supset... \supset G_{n} = \{ e \}$ を考えることが出来ます。また、商群 $G/H$ の組成列は $G/H = G_{0}/H \supset G_{1}/H \supset ... \supset G_{n}/H = \{ e \}$ で与えられます。ここで第三同型定理_ を使うと $(G_{i+1}/H)(G_{i}/H) \sim G_{i+1}/G_{i}$ が言えますので、結局 $G$ の組成列の要素である各 $G_{i}$ は、 $H$ や $G/H$ の組成列でも全く共通だということが示されます。これより定理が成り立つの明らかです。■ 次の記事、ガロア群と可解群_ の定理の証明では、次の定理を活用します。 .. admonition:: theorem 有限巡回群は可解群です。 .. admonition:: proof 証明は数学的帰納法によります。巡回群が一般に可換群であることより、位数が $1,2,3$ までの有限巡回群は、正規部分群として $\{ e\}$ しか含まないので、可解群になることは自明です。一般に、位数が $n-1$ までの巡回群が可解群になると仮定しましょう。このとき、位数 $n$ の有限巡回群 $Z_{n}$ に対し、もし $n$ が素数ならば、 $Z_{n}$ の正規部分群は $\{ e\}$ だけとなり、定理は自明です。 $n$ が素数ではないとして、 $n$ が素数 $p$ で割り切れるとすると、シローの定理_ により、 $Z_{n}$ は位数 $p \ (