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一般化されたエルミート多項式
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この記事では、エルミート多項式を一般化します。
色々、遊んでいます。

準備
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いきなりですが、次の演算子の変形ができます。

<tex>
e^{f(x)}\dfrac{d}{dx}e^{-f(x)} = \dfrac{d}{dx} -f^\prime(x)
\tag{##}
</tex>

証明はフーリエ変換を使います。

<tex>
 e^{f(x)}\dfrac{d}{dx}e^{-f(x)} g(x) 
&= e^{f(x)} \left( \dfrac{d}{dx}e^{-f(x)} \right) g(x) + e^{-f(x)} \left( \dfrac{d}{dx} g(x) \right)   \\
&= \left( \dfrac{d}{dx} - f^\prime(x) \right) g(x)
\tag{##}
</tex>

で、 $g(x)$ は任意ですから、

<tex>
e^{f(x)}\dfrac{d}{dx}e^{-f(x)} = \dfrac{d}{dx} -f^\prime(x)
\tag{##}
</tex>

が言えました。さらには、

<tex>
e^{f(x)}\dfrac{d^n}{dx^n}e^{-f(x)} = \left( \dfrac{d}{dx} -f^\prime(x) \right)^n
\tag{##}
</tex>

も自明です。

エルミート多項式
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式 $(4)$ の演算子を $f(x) = x^2$ 、 $g(x) = 1$ とし、調整の為 $(-1)^n$ を掛けると、

<tex>
H_n(x) = (-1)^n e^{x^2} \dfrac{d^n}{dx^n} e^{-x^2}
\tag{##}
</tex>

が得られ、また、

<tex>
H_n(x) = (-1)^n \left( \dfrac{d}{dx} - 2x \right)^n
\tag{##}
</tex>

も出ます。式 $(6)$ は変形して、漸化式、

<tex>
H_{n+1}(x) &= - \left( \dfrac{d}{dx} - 2x \right) H_n(x) \\
\dfrac{d}{dx}H_n(x) &= 2x H_n(x) - H_{n+1}(x)
\tag{##}
</tex>

が得られます。

エルミート多項式の拡張
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と言うことはです。 $f(x)$ と $g(x)$ に好きな関数を入れてやれば、
エルミート多項式の拡張が容易に得られます。

単純に $f(x)=x^n$ 、 $g(x)=1$ が直接的な拡張と言えるでしょう。

僕が気に入っているのは、 $f(x) = -ax$ 、 $g(x) = \dfrac{x^n}{n!}e^{-ax}$ の時で、
これは $e^{-ax}$ を無視して、 $\dfrac{x^n}{n!}$ 部分だけを微分する計算になります。

<tex>
e^{-ax}\dfrac{d^k}{dx^k}e^{ax} \dfrac{x^n}{n!}e^{-ax} = \dfrac{d^k}{dx^k} \left( \dfrac{x^n}{n!} \right) e^{-ax}
\tag{##}
</tex>

であり、

<tex>
\left( \dfrac{d}{dx} -f^\prime(x) \right)^n \dfrac{x^n}{n!}e^{-ax} = \dfrac{d^k}{dx^k} \left( \dfrac{x^n}{n!} \right) e^{-ax}
\tag{##}
</tex>

となります。

コメントをしておくと、僕は最初、線形代数のジョルダン標準形で出てくる、冪ゼロ因子の、

<tex>
(A - \lambda I )^k \bm{v} &\neq 0 (k=1,2,3,\cdots,n-1) \\
(A - \lambda I )^k \bm{v} &= 0 (k=n)
\tag{##}
</tex>

のアナロジー $\dfrac{d}{dx} \leftrightarrow \lambda I, f^\prime(x) \leftrightarrow A $ として、これを発見しました。
何か、面白い事が言えそうだと思っています。

今日はここまで、お疲れさまでした！！

@@author:クロメル@@
@@accept:2019-09-16@@
@@category:物理数学@@
@@id:generalHermite@@