============================================================
位置演算子の固有関数の運動量表示
============================================================

こんにちは、クロメルです。 S1Sz0の状態に関する考察_ に続き、
今度は位置演算子 $\hat{q}$ と運動量演算子 $\hat{p}$ の固有状態の変換を書きます。


基本事項
======================

これからしたいことは、位置演算子 $\hat{q}$ の固有関数 $|q^\prime \rangle$ を
運動量演算子 $\hat{p}$ の固有関数 $|p^\prime \rangle$ で表す [*]_ ことです。

.. [*] : ディラックの書き方に習い、プライム $^\prime$ は、特定の実数を表すことにします。 $A$ の演算子は、ハット $\hat{A}$ をつけて表します。

位置演算子 $\hat{q}$ の固有関数は、

<tex>
\hat{q}| q^\prime \rangle = q^\prime |q^\prime \rangle \tag{##}
</tex>

を満たし、 $q$ 表示をすると、

<tex>
\langle q | q^\prime \rangle = \delta(q-q^\prime) \tag{##}
</tex>

となります。

また、運動量演算子 $\hat{p}$ の固有関数は、

<tex>
\hat{p}| p^\prime \rangle = p^\prime |p^\prime \rangle \tag{##}
</tex>

を満たし、 $q$ 表示をすると、

<tex>
\langle q | p^\prime \rangle = e^{ip^\prime q/\hbar} \tag{##}
</tex> 

また、恒等演算子、

<tex>
\hat{1} = \int |q \rangle \langle q | dq \tag{##}
</tex>

を使います。

ここまでに挙げた基本的な事項は、参考文献に挙げた「量子力学」ディラック著などを参照してください。

本題
======================

さて、いよいよ展開してみましょう。

<tex>
\langle p | q^\prime \rangle &= \langle p | \hat{1} | q^\prime \rangle \\
&= \int\langle p | q  \rangle \langle q | q^\prime \rangle dq \\
&= \int e^{-ip q/\hbar} \delta(q-q^\prime) \\
&= e^{-ip q^\prime/\hbar} \tag{##}
</tex>

これは、位置 $q=q^\prime$ に局在する粒子は、
運動量 $p$ が定まらないと言うハイゼンベルクの不確定性原理
を表しています。
実空間と運動量空間は、フーリエ変換で結ばれています。

今日はここまで。

@@reference: P.A.M.Dirac, The Principles of Quantum Mechanics (fourth edition), Oxford University Press（みすず書房）, 1958, p62.p64.p97, 4622025124@@

.. _S1Sz0の状態に関する考察: http://hooktail.sakura.ne.jp/quantum/SxSyEigen/


@@author:クロメル@@
@@accept:2009-12-27@@
@@category:量子力学@@
@@id:qpEigen@@