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ルジャンドル変換で結ばれた四つのエネルギー関数
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この記事ではラグランジアン $L$ とハミルトニアン $H$ のルジャンドル変換を

応用して、 $q, \dot{q}, p, \dot{p}$ の間の変換行列を求めます。

復習
=========

まず、微分形がはっきりしている、ハミルトニアン $H$ の微分を求めます。

ハミルトニアンは

<tex>
dH &= \dfrac{\partial H}{\partial q} dq + \dfrac{\partial H}{\partial p} dp \\
&= -\dot{p} dq + \dot{q} dp 
\tag{##}
</tex>

ハミルトニアンの自然な変数は $q,p$ です。( $dq,dp$ の式だからです。)

<tex>
\dfrac{\partial H}{\partial p} &= \dot{q} \\
\dfrac{\partial H}{\partial q} &= -\dot{p} 
\tag{##}
</tex>

が言えます。次にラグランジアンを調べます。

すると、 $L= p\dot{q} -H$ ですから、

<tex>
dL &= d(p\dot{q} -H) \\
&=(\dot{q}dp + p d\dot{q}) - (-\dot{p} dq + \dot{q} dp) \\
&= p d\dot{q} + \dot{p} dq \\
&= \dfrac{\partial L}{\partial q} dq + \dfrac{\partial L}{\partial \dot{q}} d\dot{q} \\
\tag{##}
</tex>

となり、ラグランジアンの自然な変数は $q,\dot{q}$ です。

<tex>
\dfrac{\partial L}{\partial q} &= \dot{p} \\
\dfrac{\partial L}{\partial \dot{q}} &= p 
\tag{##}
</tex>

この形から $p$ を消去すると、オイラーラグランジュ方程式が得られます。

<tex>
&\dot{p} = \dfrac{\partial L}{\partial q} = \dfrac{d}{dt} \left( \dfrac{\partial L}{\partial \dot{q}} \right) \\
&\dfrac{\partial L}{\partial q} - \dfrac{d}{dt} \left( \dfrac{\partial L}{\partial \dot{q}} \right) = 0
\tag{##}
</tex>

運動に関する情報は全て $L$ に入っています。ルジャンドル変換は情報を落とさないので、

他のエネルギー関数についても同様です。

新しいエネルギー関数
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ラグランジアンからハミルトニアンを求めるとき、 $\dot{q}$ を消去して $(q,\dot{q}) \to (q,p)$ の変数変換を行いました。

それならば、次の様にしては如何でしょう？

<tex>
X &= q \dot{p} -L \\
dX &= (q d \dot{p} + \dot{p} dq) - ( p d\dot{q} + \dot{p} dq ) \\
&= q d \dot{p} - p d \dot{q} 
\tag{##}
</tex>

こうすると、 $q$ を消去して $(q,\dot{q}) \to (\dot{q},\dot{p})$ の変数変換を行ったことになります。
式 $(6)$ からは、

<tex>
\dfrac{\partial X}{\partial \dot{q}} &= -p \\
\dfrac{\partial X}{\partial \dot{p}} &= q 
\tag{##}
</tex>

この関数 $X$ は今回はあまり重要ではありません。
欲しいのは $p,\dot{p}$ を変数に持つ関数です。
それを $Y$ とすると、

<tex>
Y &= p \dot{q} + X \\
&= p \dot{q} + \dot{p} q - L \\
&= \dfrac{d}{dt}(pq) - L
\tag{##}
</tex>

すると、その微分は

<tex>
dY &= (\dot{q} dp + p d \dot{q}) - (-q d \dot{p} + p d \dot{q}) \\
&= \dot{q}dp + q d \dot{p}
\tag{##}
</tex>

となり、

<tex>
\dfrac{\partial Y}{\partial p} &= \dot{q} \\
\dfrac{\partial Y}{\partial \dot{p}} &= q 
\tag{##}
</tex>

となります。

オイラーラグランジュ方程式をこれに対しても作ることが出来て、

<tex>
&\dot{q} = \dfrac{\partial Y}{\partial p} = \dfrac{d}{dt} \left( \dfrac{\partial Y}{\partial \dot{p}} \right) \\
&\dfrac{\partial Y}{\partial p} - \dfrac{d}{dt} \left( \dfrac{\partial Y}{\partial \dot{p}} \right) = 0
\tag{##}
</tex>

となります。

変換行列
==============

本来 $\dot{p},p$ で書かれる $Y$ を $q,\dot{q}$ で書けると便利です。
その変換行列はヤコビ行列、

<tex>
\begin{pmatrix}
\dfrac{\partial \dot{p}}{\partial q} & \dfrac{\partial \dot{p}}{\partial \dot{q}} \\ 
\dfrac{\partial p}{\partial q} & \dfrac{\partial p}{\partial \dot{q}} 
\end{pmatrix}
\equiv
\dfrac{\partial(\dot{p},p)}{\partial(q,\dot{q})}
\tag{##}
</tex>

で書けます。これとその逆行列を求めるのがこの記事の主内容です。

訳あって行ベクトルで書きますが、
これが出来ると、

<tex>
\begin{pmatrix} \dfrac{\partial}{\partial \dot{p}} & \dfrac{\partial}{\partial p} \end{pmatrix}
\dfrac{\partial(\dot{p},p)}{\partial(q,\dot{q})}
=
\begin{pmatrix} \dfrac{\partial}{\partial q} & \dfrac{\partial}{\partial \dot{q}} \end{pmatrix}
\tag{##}
</tex>

より、

<tex>
\begin{pmatrix} \dfrac{\partial Y}{\partial \dot{p}} & \dfrac{\partial Y}{\partial p} \end{pmatrix}
\dfrac{\partial(\dot{p},p)}{\partial(q,\dot{q})}
&=
\begin{pmatrix} \dfrac{\partial Y}{\partial q} & \dfrac{\partial Y}{\partial \dot{q}} \end{pmatrix} \\
\begin{pmatrix} q & \dot{q} \end{pmatrix}
\dfrac{\partial(\dot{p},p)}{\partial(q,\dot{q})}
&=
\begin{pmatrix} \dfrac{\partial Y}{\partial q} & \dfrac{\partial Y}{\partial \dot{q}} \end{pmatrix} 
\tag{##}
</tex>

などと出来ます。
ここで $L,H,X,Y$ の微分をリストにしておきます。

<tex>
dL &= \dot{p} dq + p d\dot{q} \\
dH &= -\dot{p} dq + \dot{q} dp \\
dX &= -p d \dot{q} + q d \dot{p} \\
dY &= q d \dot{p} + \dot{q} dp
\tag{##}
</tex>

です。式 $(12)$ は次のように書けます。

<tex>
\dfrac{\partial(\dot{p},p)}{\partial(q,\dot{q})}
&= 
\begin{pmatrix}
\dfrac{\partial \dot{p}}{\partial q} & \dfrac{\partial \dot{p}}{\partial \dot{q}} \\ 
\dfrac{\partial p}{\partial q} & \dfrac{\partial p}{\partial \dot{q}} 
\end{pmatrix} \\
&= 
\begin{pmatrix}
\dfrac{\partial}{\partial q} \left( \dfrac{\partial L}{\partial q} \right) & \dfrac{\partial}{\partial \dot{q}} \left( \dfrac{\partial L}{\partial q} \right) \\ 
\dfrac{\partial}{\partial q} \left( \dfrac{\partial L}{\partial \dot{q}} \right) & \dfrac{\partial}{\partial \dot{q}} \left( \dfrac{\partial L}{\partial \dot{q}} \right) 
\end{pmatrix} \\
&= 
\begin{pmatrix}
\dfrac{\partial^2 L}{\partial q^2}  &  \dfrac{\partial^2 L}{\partial q \partial \dot{q}}  \\ 
\dfrac{\partial^2 L}{\partial q \partial \dot{q}} & \dfrac{\partial^2 L}{\partial \dot{q}^2}
\end{pmatrix}
\tag{##}
</tex>

一価関数の偏微分は交換できることを使いました。
この逆行列はどうなるでしょう？

<tex>
\dfrac{\partial(q,\dot{q})}{\partial(\dot{p},p)}
&= 
\begin{pmatrix}
\dfrac{\partial q}{\partial \dot{p}} & \dfrac{\partial q}{\partial p} \\ 
\dfrac{\partial \dot{q}}{\partial \dot{p}} & \dfrac{\partial \dot{q}}{\partial p} 
\end{pmatrix} \\
&= 
\begin{pmatrix}
\dfrac{\partial}{\partial \dot{p}} \left( \dfrac{\partial Y}{\partial \dot{p}} \right) & \dfrac{\partial}{\partial p} \left( \dfrac{\partial Y}{\partial \dot{p}} \right) \\
\dfrac{\partial}{\partial \dot{p}} \left( \dfrac{\partial Y}{\partial p} \right) & \dfrac{\partial}{\partial p} \left( \dfrac{\partial Y}{\partial p} \right)
\end{pmatrix} \\
&= 
\begin{pmatrix}
\dfrac{\partial^2 Y}{\partial \dot{p}^2}  &  \dfrac{\partial^2 Y}{\partial \dot{p} \partial p}  \\ 
\dfrac{\partial^2 Y}{\partial \dot{p} \partial p} & \dfrac{\partial^2 Y}{\partial p^2}
\end{pmatrix}
\tag{##}
</tex>

よって、

<tex>
\begin{pmatrix}
\dfrac{\partial^2 L}{\partial q^2}  &  \dfrac{\partial^2 L}{\partial q \partial \dot{q}}  \\ 
\dfrac{\partial^2 L}{\partial q \partial \dot{q}} & \dfrac{\partial^2 L}{\partial \dot{q}^2}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\dfrac{\partial^2 Y}{\partial \dot{p}^2}  &  \dfrac{\partial^2 Y}{\partial \dot{p} \partial p}  \\ 
\dfrac{\partial^2 Y}{\partial \dot{p} \partial p} & \dfrac{\partial^2 Y}{\partial p^2}
\end{pmatrix}
&=
\begin{pmatrix}
\dfrac{\partial^2 Y}{\partial \dot{p}^2}  &  \dfrac{\partial^2 Y}{\partial \dot{p} \partial p}  \\ 
\dfrac{\partial^2 Y}{\partial \dot{p} \partial p} & \dfrac{\partial^2 Y}{\partial p^2}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\dfrac{\partial^2 L}{\partial q^2}  &  \dfrac{\partial^2 L}{\partial q \partial \dot{q}}  \\ 
\dfrac{\partial^2 L}{\partial q \partial \dot{q}} & \dfrac{\partial^2 L}{\partial \dot{q}^2}
\end{pmatrix} \\
&=
\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{pmatrix}
\tag{##}
</tex>

が成立します。

後は、他にも $A = \dfrac{\partial(q,p)}{\partial(q,\dot{q})}$ など欲しいかもしれません。

ここで、何が独立変数で何が従属変数なのか、整理して
おきましょう。 $A$ は、 $q,\dot{q}$ の関数で、

分子は引数を明示すると $q(q,\dot{q}),p(q,\dot{q})$ の引数を取る関数です。

<tex>
\dfrac{\partial(q,p)}{\partial(q,\dot{q})} 
&=
\begin{pmatrix}
\dfrac{\partial q}{\partial q} & \dfrac{\partial q}{\partial \dot{q}} \\ 
\dfrac{\partial p}{\partial q} & \dfrac{\partial p}{\partial \dot{q}} 
\end{pmatrix} \\
&= 
\begin{pmatrix}
 \dfrac{\partial^2 X}{\partial q \partial \dot{p}} & \dfrac{\partial^2 X}{\partial \dot{q} \partial \dot{p}} \\ 
-\dfrac{\partial^2 X}{\partial q \partial \dot{q}} & -\dfrac{\partial^2 X}{\partial \dot{q}^2}
\end{pmatrix}
\tag{##}
</tex>

逆行列は、

<tex>
\dfrac{\partial(q,\dot{q})}{\partial(q,p)} 
&=
\begin{pmatrix}
\dfrac{\partial q}{\partial q} & \dfrac{\partial q}{\partial p} \\ 
\dfrac{\partial \dot{q}}{\partial q} & \dfrac{\partial \dot{q}}{\partial p} 
\end{pmatrix} \\
&= 
\begin{pmatrix}
\dfrac{\partial^2 Y}{\partial q \partial \dot{p}} & \dfrac{\partial^2 Y}{\partial p \partial \dot{p}} \\ 
\dfrac{\partial^2 Y}{\partial q \partial p} & \dfrac{\partial^2 Y}{\partial p^2}
\end{pmatrix}
\tag{##}
</tex>

となります。注意として、偏微分をする際の固定方向が異なる為に、 $\dfrac{\partial q}{\partial q}=1$ 等は言えないようです

これらの行列は、偏微分演算子の行ベクトルに対してだけでなく、

例えば、式 $(12)$ だと微分の列ベクトルに対しても、

<tex>
\begin{pmatrix}
d \dot{p} \\
d p
\end{pmatrix}
&=
\dfrac{\partial(\dot{p},p)}{\partial(q,\dot{q})}
\begin{pmatrix}
dq \\
d \dot{q}
\end{pmatrix} \\
\begin{pmatrix}
d \dot{p} \\
d p
\end{pmatrix}
&= 
\begin{pmatrix}
\dfrac{\partial \dot{p}}{\partial q} & \dfrac{\partial \dot{p}}{\partial \dot{q}} \\ 
\dfrac{\partial p}{\partial q} & \dfrac{\partial p}{\partial \dot{q}} 
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
dq \\
d \dot{q}
\end{pmatrix}
\tag{##}
</tex>

等と言う使い方もできます。
今まで、これらの変換は、専ら $L,H$ の偏微分だけで考えていましたが、

この記事によれば、 $X,Y$ も用いることでより便利に扱えます。

具体例（調和振動子）
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具体的な例で結果を確認しておきましょう。 $Y$ 
は、 $\dot{p},p$ で表すべき関数で、

<tex>
H = \dfrac{p^2}{2m} + \dfrac{k}{2}q^2 \tag{##}
</tex>

とすると、

<tex>
\dfrac{\partial H}{\partial q} = kq = -\dot{p} \tag{##}
</tex>

より、

<tex>
Y &= \dot{p}q + H \\
&= \dfrac{-\dot{p}^2}{k} + \dfrac{p^2}{2m} + \dfrac{1}{2k}\dot{p}^2 \\
&= \dfrac{p^2}{2m} - \dfrac{1}{2k}\dot{p}^2 
\tag{##}
</tex>

だから、これを解くと、

<tex>
&\dfrac{\partial Y}{\partial p} - \dfrac{d}{dt} \left( \dfrac{\partial Y}{\partial \dot{p}} \right) = 0 \\
&\dfrac{p}{m} + \dfrac{\ddot{p}}{k} = 0 \\
&\ddot{p} = -\dfrac{k}{m}p = - \omega^2 p
\tag{##}
</tex>

となり、確かに、

<tex>
p = p_0 \sin(\omega t + \phi_0) \tag{##}
</tex>

と振動解が得られます。

今日はこの辺で、お疲れさまでした。

@@author:クロメル@@
@@accept:2020-01-02@@
@@category:解析力学@@
@@id:fourEnergies@@