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リー環の随伴表現とは
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リー環とは
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リー環、もしくは、同じものですがリー代数 $X_a$ において、交換子から定まる構造定数 $f_{ab}^{ \ \ c}$ を
次の様に定めます。

<tex>
[X_a,X_b] = i f_{ab}^{ \ \ c} X_c \tag{##}
</tex>

ここで、 $i$ は虚数単位で、交換子は $[X_a,X_b] = X_a X_b - X_b X_a$ を表します。
また、アインシュタインの縮約規則を用いて、 $c$ は全ての元にわたる和です。

リー環というと、特定の代数演算の関係が決められた抽象的な
代数ですが、それと同じ関係を満たす行列で具体的に表すことができます。
その代数の行列化をリー環の「表現」と言います。
表現にはいろいろな種類がありますが、その中で今回は随伴表現 $\rho(X_a)_b^{ \ \ c} = -i f_{ab}^{ \ \ c}$ というものを紹介します。
ここで、 $\rho(X_a)$ は表現（行列）で $\rho(X_a)_b^{ \ \ c}$ は行列の成分で $b$ は行列の行、 $c$ は行列の列を指定します。
不思議な事にこれは元のリー環の一つの表現になっているのです。

ヤコビ積
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リー環には、交換子からなるヤコビ恒等式があります。
それは、

<tex>
Z = [X_a,[X_b,X_c]] + [X_a,[X_b,X_c]] + [X_a,[X_b,X_c]] = 0 \tag{##}
</tex>

という任意のリー環に対して恒等的に成り立つ関係式です。
ただし、右辺の $0$ はリー環のゼロ元です。
この関係は、実際に行列を持ち出すことなく、
代数的に展開してやれば、確認できます。

さて、式 $(2)$ を式 $(1)$ の関係を用いて、
変形していきましょう。

<tex>
[X_a,[X_b,X_c]] 
&= [X_a,i f_{bc}^{ \ \ d} X_d] \\
&= i f_{bc}^{ \ \ d} [X_a,X_d] \\
&= i^2 f_{bc}^{ \ \ d} f_{ad}^{ \ \ e} X_e \\
&= - f_{bc}^{ \ \ d} f_{ad}^{ \ \ e} X_e
\tag{##}
</tex>

の様に計算していくと、ヤコビ恒等式は、

<tex>
Z = - f_{bc}^{ \ \ d} f_{ad}^{ \ \ e} X_e - f_{ab}^{ \ \ d} f_{cd}^{ \ \ e} X_e - f_{ca}^{ \ \ d} f_{bd}^{ \ \ e} X_e
\tag{##}
</tex>

ここで、任意の $e$ に対して、上式は成立するので、 $X_e$ を除いて、

<tex>
Z^\prime = - f_{bc}^{ \ \ d} f_{ad}^{ \ \ e} - f_{ab}^{ \ \ d} f_{cd}^{ \ \ e} - f_{ca}^{ \ \ d} f_{bd}^{ \ \ e}
\tag{##}
</tex>


随伴表現
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さて、随伴表現との対応を見てみましょう。

<tex>
\rho(X_a)_b^{ \ c} = - i f_{ab}^{ \ \ c}
\tag{##}
</tex>

の様に決めると、式 $(5)$ は、

<tex>
Z^\prime 
&= - f_{bc}^{ \ \ d} f_{ad}^{ \ \ e} - f_{ab}^{ \ \ d} f_{cd}^{ \ \ e} - f_{ca}^{ \ \ d} f_{bd}^{ \ \ e} \\
&= (-i f_{bc}^{ \ \ d})(-i f_{ad}^{ \ \ e}) + (-i f_{ab}^{ \ \ d})(-i f_{cd}^{ \ \ e}) + (-i f_{ca}^{ \ \ d})(-i f_{bd}^{ \ \ e}) \\
&= \rho(X_b)_c^{ \ d} \rho(X_a)_d^{ \ e} + \rho(X_a)_b^{ \ d} \rho(X_c)_d^{ \ e} + \rho(X_c)_a^{ \ d} \rho(X_b)_d^{ \ e} \\
\tag{##}
</tex>

ここで全体の符号を反転させて、 $f_{ab}^{ \ \ c} = -f_{ba}^{ \ \ c}$ の関係を使うと（これは構造定数が交換子から作られていて、 $[X_a,X_b] = - [X_b,X_a]$ であることから出ます。）、 $\rho(X_a)_b^{ \ c} = -i f_{ab}^{ \ \ c}$ より $\rho(X_a)_b^{ \ c} = - \rho(X_b)_a^{ \ c}$ が言えるので、

<tex>
-Z^\prime 
&= - \rho(X_b)_c^{ \ d} \rho(X_a)_d^{ \ e} - \rho(X_a)_b^{ \ d} \rho(X_c)_d^{ \ e} - \rho(X_c)_a^{ \ d} \rho(X_b)_d^{ \ e} \\
&= - \rho(X_b)_c^{ \ d} \rho(X_a)_d^{ \ e} + \rho(X_a)_b^{ \ d} \rho(X_d)_c^{ \ e} + \rho(X_a)_c^{ \ d} \rho(X_b)_d^{ \ e} \\
&=   \rho(X_a)_c^{ \ d} \rho(X_b)_d^{ \ e} - \rho(X_b)_c^{ \ d} \rho(X_a)_d^{ \ e} -i f_{ab}^{ \ d} \rho(X_d)_c^{ \ e} \\
&=   \rho(X_a X_b)_c^{ \ e} - \rho(X_b X_a)_c^{ \ e} -i f_{ab}^{ \ \ d} \rho(X_d)_c^{ \ e} \\
&=   \rho(X_a X_b - X_b X_a)_c^{ \ e} -i f_{ab}^{ \ \ d} \rho(X_d)_c^{ \ e} \\
&= 0
\tag{##}
</tex>

となり、よって、

<tex>
\rho(X_a X_b - X_b X_a)_c^{ \ e} = i f_{ab}^{ \ \ d} \rho(X_d)_c^{ \ e} \\
\tag{##}
</tex>

ですから、これは、リー環が満たす代数関係

<tex>
[X_a,X_b] = X_a X_b - X_b X_a = i f_{ab}^{ \ \ d} X_d
\tag{##}
</tex>

に対応しています。（単連結な）リー代数の構造は構造定数によって、
完全に決定されます。よって、 $\rho(X_a)$ はリー環の表現だと分かります。

具体例(su(2)とso(3))
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最後に具体例として、同じ構造定数を持つ $\mathfrak{su}(2)$ と $\mathfrak{so}(3)$ の随伴表現を
見て終わりにします。その構造定数は例えば、パウリ行列 $\sigma_a$ が

<tex>
\sigma_1 &= \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \\
\sigma_2 &= \begin{pmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \end{pmatrix} \\
\sigma_3 &= \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} 
\tag{##}
</tex>

で、

<tex>
X_1 &= (1/2)\sigma_1 \\
X_2 &= (1/2)\sigma_2 \\
X_3 &= (1/2)\sigma_3
\tag{##}
</tex>

とすれば、

<tex>
[X_1,X_2] &= i X_3 \\
[X_2,X_3] &= i X_1 \\
[X_3,X_1] &= i X_2 
\tag{##}
</tex>

より、ゼロにならないのは、

<tex>
f_{12}^{ \ \ 3} &= f_{23}^{ \ \ 1} = f_{31}^{ \ \ 2} = 1 \\
f_{13}^{ \ \ 2} &= f_{21}^{ \ \ 3} = f_{32}^{ \ \ 1} = -1
\tag{##}
</tex>

と分かるので、随伴表現の行列 $J_a$ は、

<tex>
J_1 
&= \begin{pmatrix} -if_{11}^{ \ \ 1} & -if_{11}^{ \ \ 2} & -if_{11}^{ \ \ 3} \\ -if_{12}^{ \ \ 1} & -if_{12}^{ \ \ 2} & -if_{12}^{ \ \ 3} \\ -if_{13}^{ \ \ 1} & -if_{13}^{ \ \ 2} & -if_{13}^{ \ \ 3} \end{pmatrix} 
= \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -i \\ 0 & i & 0 \end{pmatrix} \\
J_2 &= \begin{pmatrix} 0 & 0 & i \\ 0 & 0 & 0 \\ -i & 0 & 0 \end{pmatrix} \\
J_3 &= \begin{pmatrix} 0 & -i & 0 \\ i & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} 
</tex>

より、随伴表現が表現として成立しているか確かめると、
確かに例えば、

<tex>
J_1 J_2 - J_2 J_1 
&= 
   \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -i \\ 0 & i & 0 \end{pmatrix}
   \begin{pmatrix} 0 & 0 & i \\ 0 & 0 & 0 \\ -i & 0 & 0 \end{pmatrix} 
  -\begin{pmatrix} 0 & 0 & i \\ 0 & 0 & 0 \\ -i & 0 & 0 \end{pmatrix} 
   \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -i \\ 0 & i & 0 \end{pmatrix} \\
&= \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \\
&= i J_3
\tag{##}
</tex>

となり、確かに元のリー代数と同じ構造定数を持つ表現になっていることが分かります。

@@reference: ジョージアィ著　九後汰一郎訳,物理学におけるリー代数（原著第２版）,吉岡書店,2010,p49 ,4842703571@@

@@author:クロメル@@
@@accept:2020-01-21@@
@@category:微分・位相幾何学@@
@@id:adjointRep@@